胡云端:一道平面几何问题的多解法探究

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道平面几何问题的多解法探究

湖北省安陆市涢东学校      胡云端

试题：如图，△ABC，△DEF均为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，连接CF，若BD＝3AD＝3，且CF⊥BC，则CF的长为　　．

解法一：（构造全等）

如图，过点D作DG∥AC交BC于G，连接FG，

∵△ABC，△DEF均为等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，DE＝DF＝EF，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵GD∥AC，∴∠GDB＝∠A＝60°，∠DGB＝∠ACB＝60°，

∴△DGB是等边三角形，∴DG＝DB＝GB＝3，

∵BD＝3AD＝3，∴AD＝1，

∵AB＝BC，BD＝BG，∴AD＝CG＝1，

∵∠FDE＝∠GDB＝60°，∴∠FDG＝∠EDB，

∴△FDG≌△EDB（SAS），∴∠FGD＝∠DBE＝60°，

∴∠FGC＝60°，又∵FC⊥BC，∴∠CFG＝30°，

∴FC＝CG＝，故答案为．

  解法二：（四点共圆与相似）

解法三：（余弦定理）

【作者简介】胡云端，男，理学学士，高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。

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