《儿童怎样学习数学》读十(儿童怎样开始认识空间的)

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对儿童发现空间关系的研究---这也许可以称为儿童自发的几何，其意义不亚于研究儿童的数概念。

几何学是数学中一门研究空间位置或定位的学科。几何学有多种，与儿童的经验最密切相关的是拓扑，欧式几何额，投影几何及度量几何。

目前，向儿童引入几何知识总是从欧氏几何开始的---如线段，三角形，正方形和圆这些欧氏图形。

在小学低年级所出现的几何内容，大多数是这样一些活动，如用线段来联结各点，对画出来的图形进行再认或说出它的名称，像三角形，长方形和正方形等。

这些活动涉及欧氏几何的内容，欧氏几何可以认为是研究所谓的刚性的各种图形的，例如一个三角形可认为具有三条刚性的边---这些边是不会弯曲也不会延伸的。当我们这个三角形与另一个三角形相比较时，可以移动这个三角形，它的大小和形状不会改变。

目前小学里正在向大多数儿童介绍的几何，是在下述假定的基础上编排的，即一个儿童最初的空间概念是欧氏几何的概念。但是皮亚杰认为这个假定是不正确的。儿童最初的空间概念是拓扑性质的。

在拓扑数学中，图形不是设想为形状上是刚性的或固定不变的，它可以延展或紧缩，以致可能具有不同的形状。简单的封闭图形如正方形，圆形与三角形再拓扑上是等价的，因为它们能够伸缩变形，相互转化。把正方形拉长就得到长方形，把正方形的角压进去就形成椭圆或圆，也可以形成三角形。

儿童在三岁半左右开始能区分封闭图形和开放图形，而欧氏图形如圆，菱形与正方形作为封闭图形对于儿童来说还全是相同的。在儿童掌握了拓扑关系后，还要经历一段相当长的时间，才能发展欧氏几何和投影几何的概念。

第一种最基本的可以由知觉掌握的拓扑空间关系是临近或靠近关系。儿童年龄越小，一个物体的邻近关系的重要性就越大，因为幼儿是根据哪个物体近些哪个物体远些来区分各种物体的。

第二种基本的 拓扑关系是分离关系，当一个儿童逐渐长大时，他能越来越容易地将一个物体从别的物体中或者将某个物体的一部分与另一部分分离或区别开来，儿童能区分欧氏图形之前，已能够将一个图形画在另一个图形内部，如把一个圆画在另一个圆内，或两圆相交，或两圆相离，因为他已经注意到这两个圆是否分离。

第三种空间关系是次序关系。

第四种空间关系是封闭关系或包围关系。如狗在院子里面，鼻子在眼睛和嘴巴之间。

目前小学里提供给儿童的几何方面的最初经验是距离，直线和角度等刚性形状的欧氏概念，这样做实际上忽视了心理学上关于幼儿是怎样开始认识空间的研究成果，因为幼儿的空间观念在类型上全部是属于拓扑性质，这与欧氏概念完全不同。

如下面三个图形，从欧氏几何来看每一个图形都是不同的，线段的长度不一样而且其中有一条曲线，然而这三个图形在拓扑上却是完全等价的，不管把这些线段如何伸长或弯曲，其相邻关系，次序关系，分离关系及连续型关系都是保持相同的。

欧氏几何与拓扑之间一个重要的区别集中在长度守恒或方向守恒的观念上。在欧氏几何中，长度作为线段的一个性质时刚性的或守恒的，而在拓扑中，长度是没有意义的，一切线段都是等价的，任何一条线段都可设想成是能伸缩和弯曲而不破坏各种拓扑关系的。

儿童从大约三岁到七岁处于拓扑表象阶段，此时儿童最令人惊讶的特征之一就是缺乏大小恒常性。儿童认为靠在一起的两根棍棒长度是相同的，但是把一根棒移动后，儿童就会认为它变长了或变短了，仿佛空间是有弹性的。在两棵树之间放进第三个物体，就会使儿童认为这两棵树之间的距离改变了。

连续性是将四种拓扑关系---相邻关系，次序关系，分离关系及包围关系合在一起的结果。一个点代表了空间中的一个位置，一条线是无数点的集合，这个内容在一年级的教材中就可以看到了，但是一条线是无限多个的点的集合是非常困难的概念，在几何中完全是人为地将一条线定义为无数多个点的集合，连续性观念在任何程度上讲都不依赖于儿童在学校里所学得的经验，而是必须等到适当的智慧发展阶段才出现。儿童并没有把点设想为不具有维度的点（即没有长度也没有宽度的点）的能力，幼儿在考虑线段上各点之间的关系时，已经掌握了相邻关系，分离关系，次序关系与封闭关系的拓扑概念，他认为在各点之间是存在空间的，而这些空间本身又被许多点充满着，这些点接近其他点但又与其他的点互相分离。然而，由于儿童此时还缺乏无限分割及无限次封闭的思想，所以相邻，分离，次序与封闭这四种拓扑关系还不能合在一起成为单一的整体。

儿童非要到十一二岁才能掌握无限的观念，实际上儿童非要到形式运算阶段才能进行思维的抽象运算，正是这种抽象运算能无限地将整体进行等分或分解，因而才能把线段看作是无限多个点的集合。

在形式运算水平，思维变成了假设与演绎的思维，思维本身已经摆脱了感觉经验或知觉的具体水平，连续性概念，当它综合了相邻，分离，次序和封闭等拓扑概念而形成时，也就“圆满地完成了作为儿童空间观念基础的一些拓扑概念的发展”

从逻辑上讲，可以借助点的集合来研究空间及线段或射线，但是从心理学上讲，在十一或十二岁之前还不能这样做，在低年级中把线作为点的集合来教纯粹是一种空谈的言语练习。在认识图形的教学中，应该让儿童亲自去摆弄与探索具体的形状，而不是光让儿童看这些形状。正是通过空间中的运动，如儿童接触一个物体时，用手指和手把物体翻转并沿着物体的轮廓移动等动作，儿童才开始明白他周围世界的真实面貌。

从三岁半到七岁，儿童能理解拓扑关系却无法理解欧氏几何关系，比如对边数，边长及个边之间的夹角，他就不能理解。儿童的头脑并不是拍摄现实，在头脑中构成的东西并非必定像真实的物体那样。