我们都熟悉时空的概念，它是简单的三维空间（X、Y、Z）和一个时间维度。在视觉上，一个点可以像下面这样在时空中移动，这被称为参考系。

• 一个在时空中移动的参考系。

所有这些参考系的合并创造了空间，而任何导致时间移动的因素都使这些参考系在时间中移动。空间和时间是不分开的。你移动得越快，相对于其他静止的人来说，你的时间就越慢。此外，当在一个方向上移动时，那么你就在那个方向上收缩了！这是很重要的。当空间收缩时，时间就会变慢来补偿它。我们想说明的是，时空是不可数的。让我们看看如何说明。

数字‍

不可数是什么意思？为此，我们必须回到数字上来。

自然数包括数字1、2、3、4、......

整数包括数字..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

有理数包括数字2/3，6/8，1/2，等等。

实数包括数轴上的每一个数字。

• 自然数N、整数Z、有理数Q和实数R的嵌套。

函数‍

现在我们有了数字，让我们来看看函数。函数是一种虚构的机器，它从一个集合或空间中获取一些东西，并将其转换为另一个集合或空间中的其他东西。

• 一个任意的函数。

我们要看的主要有三种类型的函数：单射式（(one-to-one）， 满射式（onto），以及双射式（one-to-one & onto）。单射是指A中的每个元素只映射到B中的一个元素一次；满射意味着A映射到B的全部；双射意味着A映射到B的全部，A中的每个元素只映射到B中的一个元素一次。从视觉上看，它看起来如下所示：

如果两个集合有相同数量的元素，那么这两个集合之间就会有一个双射的映射。例如，请看下面这张可爱的图片。左边有3只狗，右边有3只猫。如果我们把一只狗和每只猫只映射一次，就得到一个一对一的函数。此外，我们已经涵盖了所有三只猫，因此这个函数是满射的。由于它既是一一对应的，又是满射的，所以它是双射的。这使得我们可以提出以下命题。

命题：当且仅当两个集合之间存在双射，则这两个集合具有相同数量的元素(即相等的基数)。我们记得这是一个“当且仅当”的命题，这意味着如果第一部分是真的，那么第二部分也是真的(反之亦然)。如果两个集合具有相等的基数，那么这两个集合之间就存在一个双射。

可数性‍

有了这些，我们就具备了证明时空不可数所需的一切。首先，我们必须定义可数性是什么意思。假设有一些任意的集合。让我们称它为S（想象一个标有S的空圆，里面什么都没有）。

集合，S，是：

有限集，如果它是空的，或者具有有限个数的元素。

无限集：如果它不是有限集。

此外，集合，S，是：

可数集，如果S具有与自然数相同的基数或数字元素。

可列集，如果它是有限的或可数集。

不可数集，如果它不是可数集。

无穷大和可数性并不相互排斥，因为自然数可以达到无穷大。一个例子将有助于说明问题。让我们看看集合S，这次我们用东西填满它。这个集合里有多少个橙子？

这个橙子集合是可数的。换句话说，我们可能做了以下的事情：

它看起来非常相似，我们只是给每个橙子分配了一个自然数。你会注意到的是，这是自然数和橙子之间的双射。因此，如果自然数和任何任意集合之间存在双射关系，那么这个任意集合就是可数的。这就是我们说某物是否可数的意思。

时空是不可数的‍

这就是我们需要证明时空是不可数的全部内容。在我们进入这个问题之前，让我们回顾一下不同类型的数：自然数、整数、有理数和实数。有三种类型的函数：、满射和双射、满射和双射。我们还知道，如果某样东西与自然数之间有一个双射的映射，那么它就是可数的。再一次熟悉下时空中的参考系：

让我们从证明空间不可数开始。具体来说，让我们只从空间的一个维度开始。回头看看参考系，选择X空间维度。

如果你想在X空间维度上测量什么，你会怎么做？既然这是一个思想实验，让我们想象一下，有一把尺子，可以测量任何可以想象到的尺寸如2.543米，1,203,021米，1.6x10^-35米等等。

如果我想测量每一个点，我可以做一些类似下面的列表。其中，所有的Z都是整数（...，-2，-1，0，1，2，...），所有的X都是0到9之间的数字。这样，我们将得到所有可以想象的实数。例如2.94872839000000032300，还有312,412,50,910.2419334923941、0.3333333……等等。

现在，实数是可数的还是不可数的？如果是可数，那么在自然数和实数之间就会有一个双射。让我们来看看能否把它画出来。

这是什么意思呢？每个自然数可以映射到每一个实数。因此实数是可数的。那么你能回答下面问题吗：

如果你想不出来也不用担心，答案马上就会出现。想象一下，有一个实数a，和上面类似，让我们把a写成：

• a写成小数点扩展

如果实数表中的第一个小数等于，例如5，那么a中的第一个小数就不能等于5。此外，如果实数表中的第二个小数等于，例如，7，那么a中的第二个小数就不能等于7。不断地重复，你就会得到下面这样的东西。

注意，所有的实数都列在了实数列表中，所以让我们看看是否能在列表里找到a。它在第一行吗？不在，表中的第一个小数点不可能等于a的第一个小数点。它在第二行吗？不在，第二个小数点不可能等于a的第二个小数点。第三行呢？同理，也不在。这个概念如下图所示，它被称为康托对角线，以格奥尔格·康托命名。

• 康托尔对角线证明了实数是不可数的。

那么，a在哪里？我们知道那张表包含了所有的实数，但我们刚刚发现了一个不在里面的实数，哪里出错了？错就错在我们假设实数是可数的。换句话说，自然数和实数之间不存在双射关系。如果没有双射，那么它们就有不同数量的元素。

你可能会问，"但自然数和实数都是无限大的--无限怎么会比无限大？" 好问题。我不知道该怎么告诉你。

回到时空问题。如果在X方向上测量一切，这根本无法做到。换句话说，你在那个方向上可以选择的每个数字，我总是可以选择一个你没有选择的数字。现在，感受时间的流逝。时间是不可数的，我总是可以选择一个你没有选择的时间点。

如果我们对时空的所有维度做与刚才相同的事情，会得到下面的东西：

• 时空是不可数的

我们已经证明，时空是不可计数的。

它的意义‍

我自己也不确定，但这确实引出了一个不祥的问题：在我们的宇宙中存在可数或不可数的物体吗？

你可能会问，"什么是物体？"。让我们来看几个：星系的数目是可数的吗？恒星、黑洞、原子、夸克呢？