阳海林,章勤琼,王圣昌:面积大小究竟是怎样描述的?——兼谈小学数学中度量的教学

[关键词] 度量；面积教学；大小描述

面积是几何学基本度量（测量或计量）之一，厘清度量的内涵，对于面积的教学有重要启示。 

1.度量的含义

关于度量，国内外者对此都有研究。史宁中认为，度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学，进而认识现实世界的工具。度量的本质在于表现事物某些指标的顺序。所有度量中的量，最后一定要通过数进行表达，而且都是在1度量单位的基础上进行描述。度量单位的形成大致可以分为以下两类：一类是通过抽象得到的，是人思维的结果；另一类是借助工具得到的，是人实践的结果^[2]。

西方学者指出，从技术上来说，测量（measurement）是一个数，用以表明测量物体属性，以及测量给定单位的相同属性之间的比较。我们一般用测量的小单位实测，用以决定被测量物体和单位之间的数字关系。对学校课程中测量中的属性而言，我们可以说测量的意思是属性被相同属性的测量单位“填满”。为了测量某物，必须完成三步骤：（1）决定测量的属性；（2）选择该属性的单位；（3）比较这些单位，透过填满、覆盖、相匹配或者其他方法，测量物体的属性。^[3] 

2.面积的含义

面积（area）是计量中的基本概念之一，空间在两个不同方向上同时延展的可能性及程度在人脑中的反映，形成了面积的概念。平面图形的大小，是从这个平面图形占有空间的范围大小的比较中产生的，因此表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。^[4]张奠宙认为面积是几何度量领域的概念，其具有“数”的基本属性，即找到一个合适的数对其数学属性进行描述。^[5] 

在小学数学教学中涉及到的线、面、体，它们都是平直的，这些概念的特点是：看得见、说不清。这是因为在描述的过程中无法借用其他相关概念，而小学数学中涉及的概念基本都是这样的，于是这就为小学的数学教学带来了难度。^[6]为了使这部分的教学更加生动，可以把几何概念的理解与计数有机地结合起来。^[7] 

小学数学教材中是用描述性的语言直接告知“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”。 ^[8]可见，教师在引导学生理解面积含义时，举例说明物体的表面是什么、封闭图形是什么，并不能使学生真正理解面积的含义。

因此，在小学阶段引导学生理解面积的含义，需要从度量的本质出发，设计图形面比较的活动，并在比较的活动中产生用“数”表述的需要，找到一个合适的数去描述面的大小。

3.如何描述面的大小

学生对面积大小的理解，需要从定性认识上升到定量认识，即能用数描述面积的大小。度量一个图形或物体表面的面积，通常使用一个边长为单位长的正方形作为面积单位，以面积单位去度量，所得的量数，就是这该图形或物体表面的面积。一旦面积单位选定之后，表示一个图形或物体表面的面积数就完全确定了。^[9]比较任务活动是描述面大小的基础，在比较面大小任务的驱动下，学生不能通过直接比较面大小，于是就自发地想到用小正方形作为标准单位去度量，从而得到面的大小。

因此，描述面的大小是分为不同的层次：第一，首先需要引导学生理解面的属性，即知道面在哪里，感知面是有大小的；第二，能够选择不同的方法比较面的大小，比如重叠比较，这些都属于直接比较；第三，在不能直接比较的情形下，就需要通过间接比较，即选择一个合适的工具来度量，将待测面跟标准量进行比较，看包含了多少个标准量，通过数来表述面的大小。

“面积的认识”是人教版三年级下册第五单元的内容，面积概念是贯穿于整个单元的核心内容。^[10]刘加霞指出，生活中有六种常用的感官量：长度、质量、容积、角度、面积、体积，学生对于它们的学习以及理解，通常会经历下以下五个阶段，阶段1：量的初步认识；阶段2：量的间接比较；阶段3：认识国际通用单位并能够用其描述大小；阶段4：国际通用单位体系的认识与换算；阶段5：利用公式求量的大小。^[11]

在人教版教材中，对面积认识的直观感知涉及两步：首先是认识“面”，然后是“面”的大小。面积大小的比较，教材编排了比较两个长方形面积大小的活动，学生在通过重叠不能比较出大小时，激发学生寻找新的工具进行比较。 ^[12]从教材编排进行意图分析，可以发现其注重学生对面积概念的真正理解，以及引导学生体会度量的意义。

但是在教材中，考虑到学生用面积单位进行测量的经验比较少，使用直接提示即“可以选用一种图形作单位来进行测量”，替代了学生思考，让学生错失了一次面对二维事物的度量，自主选择测量工具进行度量的契机，从而使得学生难以真正体会到面积度量的意义。学生虽然有用尺子度量长度的经验，但是面对二维的面，学生很难把这种经验迁移过来。而且，学生已经学了周长，片面的认为“周长大的图形，面积也大”，会导致学生始终认为用尺子去测量面积的大小。显然，这样的经验，是不利于学生进行面积的度量的。

因此，对于理解面积含义的教学，需要从以下几个层面进行：第一，初步认识面积的属性，包括知道面在哪里；第二，会用观察、重叠、剪拼等直接比较的方法来比较两个图形的大小，感受到比较面的大小需要同时从“长”与“宽”两个维度进行考虑；第三，在直接比较不出两个图形的大小时，产生描述图形大小的需求，并能想到用一种新的工具来进行度量图形的大小，即用小正方形作为度量单位来度量。学生只有完整经历度量面积的过程，想办法去度量面积，自主选择工具去度量，对于理解面积的含义，渗透度量的意识才是有效的。

为了更好地渗透度量的意识，帮助学生深刻理解面积的含义，面积的教学可以从以下三个层面展开：

（1）感知“面”在哪里

为了帮助学生感知“面”在哪里，一是结合学生已有的生活经验；二是设计多种感官活动，帮助学生积累感性经验。比如引导学生通过“看一看、说一说、指一指”等教学活动准确指出“面”所在的区域；在“涂一涂”、“说一说”的活动中，让学生找出哪些图形是有面或有面积的，对“面”有全面的认识；还可以通过交流活动让学生明确只要是封闭图形（包括规则、不规则的），面的大小是确定的，都是有面积的。

（2）会比较面的大小

数学学习需要有问题和任务驱动。学习测量首先要解决“为什么测量”这一问题。[13]面积教学，需要注重设计有层次的比较图形大小的活动，掌握直接比较面的大小的方法。在面积的教学中，设计了给图形大小排序的活动，引导根据具体的情境，灵活选择合适的方法进行比较，体现比较的层次：比如有些图形是能通过直接观察比较的、有些图形是需要通过重叠的方法、还有些图形是需要通过重叠一次后把多余部分剪下来再次重叠再比。

（3）描述面的大小

为了让学生在比较活动中感悟“面积”的本质含义，还需要设计通过“直接比较”难以获得比较结果的图形，借助非标准单位（中间量）进行比较，即在比较a、b的大小时，借助任意的一个c作为中间量进行比较。比如在教学中设计了比较两个“L”形图形的大小，学生发现无法直接比较时，教师引导学生转换比较的策略“想办法描述面的大小”，学生很自然地想到用铺的方式，将小正方形把这两个图形铺满，数出小正方形的数量，就可以知道这两个图形究竟多大了。

基于以上三个环节进行教学，设计丰富的有层次地操作活动，引导学生深入感知面在哪里；学会直观的比较面的大小；接着过渡到用非标准单位度量，进行间接描述面的大小。

2.加强操作经验，感悟度量的本质

关于度量的教学，都包含了三个方面的内容：认识、描述、用公式计算。可以从三个角度来考虑：第一，认识它、知道它在哪里；第二，正确描述它的大小，即用非标准单位和标准单位来表达它；第三，在计算的时候，能够理解为什么这样计算。在教学中需要突出以下两点：一是要加强学生自主操作、探索的机会。二是理解度量的本质；

（1）积累操作活动经验

对于度量教学三个方面的内容，都需要学生在具体的操作过程中去感悟、探索和优化。明确量的属性，就需要学生通过观察、操作、表达等活动去感受；描述量的大小，就需要学生在比较量的操作活动中由“直接比较”过渡到“间接比较”，进而“生发”出描述量大小；用公式计算时，同样要经历不断操作和优化的过程。比如面积的计算，首先是全铺、然后只铺一遍、再到测量长度，最后帮助学生从格子的数量过渡到“线段长度的乘积”。

（2）理解度量的本质

数本质上是一种度量，数的本质是大小关系，就需要在比较的活动中去感悟度量对象的大小关系，进而能够选择度量单位去准确描述量的大小。在教学中，首先要明确度量的属性是什么？例如，面积度量的属性是指面的大小，而表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。其次，在比较大小任务的驱动下，实现比较方法的优化，由直接比较过渡到间接比较，即选择合适的非标准单位去比较，进而掌握用标准单位度量的方法。最后，让学生感受到，度量单位确定后，依据度量的方法就可以度量大小，用数来描述大小。