2022年高考数学高三大一轮复习第6章数列§6.1数列的概念与简单表示法

2022年高考数学高三大一轮复习

第6章数列

§6.1数列的概念与简单表示法

§6.1　数列的概念与简单表示法

考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的有关概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

(2)数列的通项公式

如果数列{a_n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

若已知数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n＝

(3)数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．

2．数列与函数

数列{a_n}是从正整数集N^*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a_n，记为a_n＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{a_n}．

3．数列的分类

分类标准	类型	满足条件
项数	有穷数列	项数有限
	无穷数列	项数无限
项与项间的大小 关系	递增数列	an＋1>an	其中n∈N*
	递减数列	an＋1<an
	常数列	an＋1＝an

 

4.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．

微思考

1．数列的项与项数是一个概念吗？

提示　不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？

提示　体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N^*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)数列的通项公式是唯一的．(×)

(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)

(3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．(×)

(4)如果数列{a_n}的前n项和为S_n，则对任意n∈N^*，都有a_n＋1＝S_n＋1－S_n.(√)

题组二　教材改编

2．数列，，，，，…的通项公式是a_n＝________.

答案　a_n＝，n∈N^*

3．已知数列a₁＝2，a_n＝1－(n≥2)．则a_{2 022}＝________.

答案　－1

解析　a₁＝2，a₂＝1－＝，a₃＝1－2＝－1，a₄＝1＋1＝2，所以数列{a_n}满足a_n＝a_n＋3，所以a_{2 022}＝a₃＝－1.

4．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝n²－λn＋1，若{a_n}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．

答案(－∞，3)

解析　由题意得a_n＋1>a_n，即(n＋1)²－λ(n＋1)＋1>n²－λn＋1.

化简得，λ<2n＋1，n∈N^*，∴λ<3.

题组三　易错自纠

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝－2n²＋1，则{a_n}的通项公式为a_n＝________.

答案

解析　当n＝1时，a₁＝S₁＝－1.当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－2n²＋1＋2(n－1)²－1＝－4n＋2，a₁＝－1不适合上式，所以a_n＝

6．若a_n＝－n²＋9n＋10，则当数列{a_n}的前n项和S_n最大时，n的值为________．

答案9或10

解析　要使S_n最大，只需要数列中正数的项相加即可，

即需a_n>0，－n²＋9n＋10>0，得－1<n<10，

又n∈N^*，所以1≤n<10.

又a₁₀＝0，所以n＝9或10.

题型一由a_n与S_n的关系求通项公式

 

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²＋2n，则a_n＝________.

答案2n＋1

解析　当n＝1时，a₁＝S₁＝3.当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋2n－[(n－1)²＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a₁＝3适合上式，∴a_n＝2n＋1.

2．已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，且S_n＝2a_n＋1，则数列的通项公式a_n＝________.

答案　－2^n－1

解析　当n＝1时，a₁＝S₁＝2a₁＋1，∴a₁＝－1.

当n≥2时，S_n＝2a_n＋1，①

S_n－1＝2a_n－1＋1.②

①－②，S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，即a_n＝2a_n－2a_n－1，

即a_n＝2a_n－1(n≥2)，∴{a_n}是首项a₁＝－1，q＝2的等比数列．

∴a_n＝a₁·q^n－1＝－2^n－1.

3．设数列{a_n}满足a₁＋3a₂＋…＋(2n－1)a_n＝2ⁿ，则a_n＝________.

答案

解析　当n＝1时，a₁＝2¹＝2.

∵a₁＋3a₂＋…＋(2n－1)a_n＝2ⁿ，①

∴a₁＋3a₂＋…＋(2n－3)a_n－1＝2^n－1(n≥2)，②

由①－②得，(2n－1)·a_n＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1，

∴a_n＝(n≥2)．

显然n＝1时不满足上式，∴a_n＝

4．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁＝－1，a_n＋1＝S_nS_n＋1，则下列结论正确的是_______．

①a_n＝

②a_n＝

③S_n＝－

④数列是等差数列

答案②③④

解析　∵a_n＋1＝S_n·S_n＋1＝S_n＋1－S_n，两边同除以S_n＋1·S_n，得－＝－1.∴是以－1为首项，d＝－1的等差数列，

即＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S_n＝－.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝－＋＝，

又a₁＝－1不适合上式，∴a_n＝

思维升华 (1)已知S_n求a_n的常用方法是利用a_n＝转化为关于a_n的关系式，再求通项公式．

(2)S_n与a_n关系问题的求解思路

方向1：利用a_n＝S_n－S_n－1(n≥2)转化为只含S_n，S_n－1的关系式，再求解．

方向2：利用S_n－S_n－1＝a_n(n≥2)转化为只含a_n，a_n－1的关系式，再求解．

题型二由数列的递推关系式求通项公式

 

命题点1　累加法

例1在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝a_n＋ln，则a_n等于()

A．2＋lnn                                      B．2＋(n－1)lnn

C．2＋nln n                                     D．1＋n＋ln n

答案A

解析　因为a_n＋1－a_n＝ln＝ln(n＋1)－ln n，

所以a₂－a₁＝ln 2－ln 1，

a₃－a₂＝ln3－ln 2，

a₄－a₃＝ln4－ln 3，

……

a_n－a_n－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，

把以上各式分别相加得a_n－a₁＝ln n－ln 1，

则a_n＝2＋ln n(n≥2)，且a₁＝2也适合，

因此a_n＝2＋ln n(n∈N^*)．

命题点2　累乘法

例2　已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其首项a₁＝1，且满足3S_n＝(n＋2)a_n，则a_n＝______.

答案

解析　∵3S_n＝(n＋2)a_n，①

3S_n－1＝(n＋1)a_n－1(n≥2)，②

由①－②得，3a_n＝(n＋2)a_n－(n＋1)a_n－1，

即＝，

∴a_n＝···…··a₁＝×××…××1＝.

当n＝1时，满足a_n＝，∴a_n＝.

 本例2中，若{a_n}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·a_n·a_n＋1－n·a＝0，且a_n>0，a₁＝1，则a_n＝____________.

答案n·2^n－1

解析　由2(n＋1)·a＋(n＋2)·a_n·a_n＋1－n·a＝0得

n(2a＋a_n·a_n＋1－a)＋2a_n(a_n＋a_n＋1)＝0，

∴n(a_n＋a_n＋1)(2a_n－a_n＋1)＋2a_n(a_n＋a_n＋1)＝0，

(a_n＋a_n＋1)[(2a_n－a_n＋1)·n＋2a_n]＝0，

又a_n>0，∴2n·a_n＋2a_n－n·a_n＋1＝0，

∴＝，

又a₁＝1，∴当n≥2时，a_n＝··…···a₁

＝×××…×××1

＝2^n－1·n.

又n＝1时，a₁＝1适合上式，∴a_n＝n·2^n－1.

思维升华 (1)根据形如a_n＋1＝a_n＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a_n－a₁与n的关系式，进而得到a_n的通项公式．

(2)根据形如a_n＋1＝a_n·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到a_n的通项公式．

跟踪训练1 (1)在数列{a_n}中，a₁＝3，a_n＋1＝a_n＋，则通项公式a_n＝________.

答案4－

解析　∵a_n＋1－a_n＝＝－，

∴当n≥2时，a_n－a_n－1＝－，

a_n－1－a_n－2＝－，

……

a₂－a₁＝1－，

∴以上各式相加得，a_n－a₁＝1－，

∴a_n＝4－，a₁＝3适合上式，∴a_n＝4－.

(2)已知a₁＝2，a_n＋1＝2ⁿa_n，则数列{a_n}的通项公式a_n＝________.

答案

解析　∵＝2ⁿ，∴当n≥2时，＝2^n－1，＝2^n－2，

……

＝2²，＝2，

∴a_n＝··…···a₁

＝2^n－1·2^n－2·…·2²·2·2

＝2^{1＋2＋3＋…＋(n－1)}·2

，

又a₁＝2满足上式，

∴a_n＝.

题型三数列的性质

 

命题点1　数列的单调性

例3已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝，若数列{a_n}为递减数列，则实数k的取值范围为()

A．(3，＋∞)                                  B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)                                  D．(0，＋∞)

答案D

解析　(单调性)因为a_n＋1－a_n＝－＝，由数列{a_n}为递减数列知，对任意n∈N^*，a_n＋1－a_n＝<0，

所以k>3－3n对任意n∈N^*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．

思维升华解决数列的单调性问题的三种方法

(1)用作差比较法，根据a_n＋1－a_n的符号判断数列{a_n}是递增数列、递减数列还是常数列．

(2)用作商比较法，根据(a_n>0或a_n<0)与1的大小关系进行判断．

(3)函数法．

命题点2　数列的周期性

例4(2021·广元联考)已知数列{a_n}，若a_n＋1＝a_n＋a_n＋2(n∈N^*)，则称数列{a_n}为“凸数列”．已知数列{b_n}为“凸数列”，且b₁＝1，b₂＝－2，则{b_n}的前2 022项的和为()

A．0 B．1  C．－5  D．－1

答案A

解析　∵b_n＋2＝b_n＋1－b_n，b₁＝1，b₂＝－2，

∴b₃＝b₂－b₁＝－2－1＝－3，

b₄＝b₃－b₂＝－1，

b₅＝b₄－b₃＝－1－(－3)＝2，

b₆＝b₅－b₄＝2－(－1)＝3，

b₇＝b₆－b₅＝3－2＝1.

∴{b_n}是周期为6的周期数列，

且S₆＝1－2－3－1＋2＋3＝0.

∴S_{2 022}＝S_337×6＝0.

思维升华解决数列周期性问题

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．

命题点3　数列的最值

例5已知数列{a_n}满足a₁＝28，＝2，则的最小值为()

A.  B．4－1  C.  D.

答案C

解析　由a_n＋1－a_n＝2n，可得a_n＝n²－n＋28，

∴＝n＋－1，

设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，

又n∈N^*，且＝<＝，故选C.

思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)函数法，利用函数求最值．

(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．

(3)比较法：若有a_n＋1－a_n＝f(n＋1)－f(n)>0，则a_n＋1>a_n，则数列{a_n}是递增数列，所以数列{a_n}的最小项为a₁；若有a_n＋1－a_n＝f(n＋1)－f(n)<0，则a_n＋1<a_n，则数列{a_n}是递减数列，所以数列{a_n}的最大项为a₁.

跟踪训练2 (1)已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝，那么这个数列是()

A．递增数列 B．递减数列　C．摆动数列 D．常数列

答案A

解析　a_n＋1－a_n＝－＝>0，∴a_n＋1>a_n，∴选A.

(2)已知数列{a_n}满足a_n＋2＝a_n＋1－a_n，n∈N^*，a₁＝1，a₂＝2，则a_{2 021}等于()

A．－2 B．－1  C．1  D．2

答案A

解析　由题意，数列{a_n}满足a_n＋2＝a_n＋1－a_n，

且a₁＝1，a₂＝2，

当n＝1时，可得a₃＝a₂－a₁＝2－1＝1；

当n＝2时，可得a₄＝a₃－a₂＝1－2＝－1；

当n＝3时，可得a₅＝a₄－a₃＝－1－1＝－2；

当n＝4时，可得a₆＝a₅－a₄＝－2－(－1)＝－1；

当n＝5时，可得a₇＝a₆－a₅＝－1－(－2)＝1；

当n＝6时，可得a₈＝a₇－a₆＝1－(－1)＝2；

……

可得数列{a_n}是以6为周期的周期数列，

所以a₂₀₂₁＝a_336×6＋5＝a₅＝－2.

故选A.

(3)在数列{a_n}中，a_n＝(n＋1)ⁿ，则数列{a_n}的最大项是第________项．

答案6或7

解析　＝＝×≥1.

得n≤6，即当n≤6时，a_n＋1≥a_n，

当n>6时，a_n＋1<a_n，∴a₆或a₇最大．

课时精练

1．数列，3，，，3，…，则9是这个数列的第()

A．12项  B．13项 C．14项 D．15项

答案C

解析　数列，3，，，3，…，可化为，，，，，…，

则数列的通项公式为a_n＝，

当a_n＝＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.

2．若数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1－a_n－1＝2ⁿ，则a_n等于()

A．2ⁿ＋n－2                                   B．2^n－1＋n－1

C．2^n＋1＋n－4                                D．2^n＋1＋2n－2

答案A

解析　∵a_n＋1－a_n＝2ⁿ＋1，

∴a₂－a₁＝2¹＋1，a₃－a₂＝2²＋1，a₄－a₃＝2³＋1，…，a_n－a_n－1＝2^n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，

a_n－a₁＝2¹＋…＋2^n－1＋(n－1)

＝＋n－1＝2ⁿ＋n－3，

∴a_n＝2ⁿ＋n－2，选A.

3．在一个数列中，如果∀n∈N^*，都有a_na_n＋1a_n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁＝1，a₂＝2，公积为8，则a₁＋a₂＋…＋a_{2 021}等于()

A．4 711                                          B．4 712

C．4 714                                          D．4 715

答案C

解析　由题意可知a_na_n＋1a_n＋2＝8，

则对任意的n∈N^*，a_n≠0，

则a₁a₂a₃＝8，∴a₃＝＝4，

由a_na_n＋1a_n＋2＝8，得a_n＋1a_n＋2a_n＋3＝8，

∴a_na_n＋1a_n＋2＝a_n＋1a_n＋2a_n＋3，

∴a_n＋3＝a_n，

∵2021＝3×673＋2，

因此a₁＋a₂＋…＋a₂₀₂₁＝673(a₁＋a₂＋a₃)＋a₁＋a₂

＝673×7＋1＋2＝4714.

故选C.

4．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝n²－11n＋，a₅是数列{a_n}的最小项，则实数a的取值范围是()

A．[－40，－25]                            B．[－40,0]

C．[－25,25]                                    D．[－25,0]

答案B

解析　由已知条件得a₅是数列{a_n}的最小项，

所以

即解得

故选B.

5．(多选)下列四个命题中，正确的有()

A．数列的第k项为1＋

B．已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝n²－n－50，n∈N^*，则－8是该数列的第7项

C．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a_n＝2ⁿ－1

D．数列{a_n}的通项公式为a_n＝，n∈N^*，则数列{a_n}是递增数列

答案ABD

解析　对于A，数列的第k项为1＋，A正确；

对于B，令n²－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；

对于C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b_n}，则其通项公式为b_n＝2ⁿ(n∈N^*)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a_n＝b_n＋1＝2ⁿ＋1(n∈N^*)，C错误；

对于D，a_n＝＝1－，则a_n＋1－a_n＝－＝>0，因此数列{a_n}是递增数列，D正确．故选ABD.

6．(多选)若数列{a_n}满足：对任意正整数n，{a_n＋1－a_n}为递减数列，则称数列{a_n}为“差递减数列”．给出下列数列{a_n}(a∈N^*)，其中是“差递减数列”的有()

A．a_n＝3n                                       B．a_n＝n²＋1

C．a_n＝                                       D．a_n＝ln

答案CD

解析　对于A，若a_n＝3n，则a_n＋1－a_n＝3(n＋1)－3n＝3，所以{a_n＋1－a_n}不为递减数列，故A错误；

对于B，若a_n＝n²＋1，则a_n＋1－a_n＝(n＋1)²－n²＝2n＋1，所以{a_n＋1－a_n}为递增数列，故B错误；

对于C，若a_n＝，则a_n＋1－a_n＝－＝，所以{a_n＋1－a_n}为递减数列，故C正确；

对于D，若a_n＝ln，则a_n＋1－a_n＝ln－ln＝ln＝ln，由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以{a_n＋1－a_n}为递减数列，故D正确．

故选CD.

7．若数列{a_n}的前n项和S_n＝3n²－2n＋1，则数列{a_n}的通项公式a_n＝________.

答案　

解析　当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2×1＋1＝2；

当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1＝3n²－2n＋1－[3(n－1)²－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列{a_n}的通项公式为a_n＝

8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a_n}的前n项和为S_n，且∀n∈N^*，a_n＋1>a_n，S_n≥S₆.请写出一个满足条件的数列{a_n}的通项公式a_n＝________.

答案n－6(n∈N^*)(答案不唯一)

解析　∀n∈N^*，a_n＋1>a_n，则数列{a_n}是递增的，

∀n∈N^*，S_n≥S₆，即S₆最小，

只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，

所以，满足条件的数列{a_n}的一个通项公式a_n＝n－6(n∈N^*)(答案不唯一)．

9．已知在数列{a_n}中，a₁a₂a₃·…·a_n＝n²(n∈N^*)，则a₉＝________.

答案

解析　∵a₁a₂·…·a₈＝8²＝64，①

a₁·a₂·…·a₉＝9²＝81，②

②÷①得a₉＝.

10．已知数列的通项为a_n＝(n∈N^*)，则数列{a_n}的最小项是第________项．

答案　5

解析　因为a_n＝，数列{a_n}的最小项必为a_n<0，即<0,3n－16<0，从而n<，又因为n∈N^*，且数列{a_n}的前5项递减，所以n＝5时，a_n的值最小．

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，求数列{a_n}的通项公式．

(1)S_n＝2ⁿ－1，n∈N^*；

(2)S_n＝2n²＋n＋3，n∈N^*.

解(1)∵S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，

∴当n＝1时，a₁＝S₁＝2－1＝1；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－1－(2^n－1－1)＝2^n－1.

经检验，当n＝1时，符合上式，

∴a_n＝2^n－1(n∈N^*)．

(2)∵S_n＝2n²＋n＋3(n∈N^*)，

∴当n＝1时，a₁＝S₁＝2×1²＋1＋3＝6；

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n²＋n＋3－[2(n－1)²＋(n－1)＋3]＝4n－1.

经检验，当n＝1时，不符合上式，

∴a_n＝

12．在数列{a_n}中，a_n＝－2n²＋9n＋3.

(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？

(2)求数列中的最大项．

解(1)令a_n＝－107，－2n²＋9n＋3＝－107,2n²－9n－110＝0，

解得n＝10或n＝－(舍去)．所以a₁₀＝－107.

(2)a_n＝－2n²＋9n＋3＝－2²＋，

由于n∈N^*，所以最大项为a₂＝13.

13．在各项均为正数的数列{a_n}中，对任意m，n∈N^*，都有a_m＋n＝a_m·a_n.若a₆＝64，则a₉等于()

A．256 B．510  C．512  D．1024

答案C

解析　在各项均为正数的数列{a_n}中，对任意m，n∈N^*，都有a_m＋n＝a_m·a_n.所以a₆＝a₃·a₃＝64，a₃＝8.所以a₉＝a₆·a₃＝64×8＝512.故选C.

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4(n＋1)·(S_n＋1)＝(n＋2)²a_n，则数列{a_n}的通项公式为()

A．(2n＋1)²－1                               B．(2n＋1)²

C．8n²                                             D．(n＋1)³

答案D

解析　在4(n＋1)·(S_n＋1)＝(n＋2)²a_n中，

令n＝1，得8(a₁＋1)＝9a₁，所以a₁＝8，

因为4(n＋1)·(S_n＋1)＝(n＋2)²a_n，①

所以4n·(S_n－1＋1)＝(n＋1)²a_n－1(n≥2)，②

①－②得，4a_n＝a_n－a_n－1，

即a_n＝a_n－1，a_n＝a_n－1，

所以a_n＝××…××a₁

＝××…××8

＝(n＋1)³(n≥2)，

又a₁＝8也满足此式，所以数列{a_n}的通项公式为(n＋1)³.

故选D.

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n＝(－1)ⁿa_n＋，则S₁＋S₃＋S₅等于()

A．0 B.  C.  D.

答案D

解析　数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n＝(－1)ⁿa_n＋，

当n为偶数时，S_n＝S_n－S_n－1＋，

即有S_n－1＝，所以S₁＋S₃＋S₅＝＋＋＝.

故选D.

16．(2020·鹰潭模拟)S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n－S_n＝n－n².

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若b_n＝－5a_n，求数列{b_n}中最小的项．

解　(1)对任意的n∈N^*，由a_n－S_n＝n－n²，得a_n＋1－S_n＋1＝(n＋1)－(n＋1)²，

两式相减得a_n＝n，因此数列{a_n}的通项公式为a_n＝n.

(2)由(1)得b_n＝2ⁿ－5n，

则b_n＋1－b_n＝[2^n＋1－5(n＋1)]－(2ⁿ－5n)＝2ⁿ－5.

当n≤2时，b_n＋1－b_n<0，

即b_n＋1<b_n，∴b₁>b₂>b₃；

当n≥3时，b_n＋1－b_n>0，

即b_n＋1>b_n，∴b₃<b₄<b₅<…，

所以数列{b_n}的最小项为b₃＝2³－5×3＝－7.

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