除法到底有多难?

数学到底有多难？

数学的难度在于如何找到基础规律，找到这个规律后如何用来解决实际的问题。

除法到底有多难？

除法是对减法的更深一层的总结

1. 找规律

1. 除法算式结构：
   

2. 除法的“竖式计算”基础写法及结构名称：
   

   

3. 被除数÷ 除数 的意思是：被除数里面一共有多少个除数，即被除数减去除数多少次后，被除数等于0或者小于除数？

4. 除法计算结果中余数部分如果为0则可以省略不写，比如:121÷11=11

5. 除法的验算步骤是：商×除数+余数(没有则为0)=被除数，“余数大于或等于0，且比除数小”

6. 记住常用的除法算式和结果：10÷2=5，100÷4=25，1000÷8=125

7. 除法计算顺序：从最高位开始计算。特别重要！！！

8.   (1) 0除以任何不为0的数结果都是0
     (2) 除数不能为0
     (3) 任何不为0的数除以自己结果都是1

9. 注意在解决实际问题的时候“除”和“除以”的区别：
     (1) “除”和“除以”是除法算式的两种不同的读法
     (2) “除”表示除数除被除数，比如：2除8 算式是 8÷2
     (3) “除以”表示被除数除以除数，比如：8除以2 算式是 8÷2
     (4) “以”的意思是用、拿的意思

2. 应用规律

2.1 除法为什么是减法更深一层的总结？

被除数里面一共有多少个除数，即被除数减去除数多少次后，被除数等于0或者小于除数？

也就是说除法计算，我们也可以使用减法计算得到同样的结果

我们来验证一下10÷2=5  表示10里面有5个2，也就是10减2，5次后被除数是0

我们让记住常用的除法算式和结果：10÷2=5，100÷4=25，1000÷8=125

通过上面图中的计算，我们发现10减去2，5次后被除数是0,所以10÷2=5。

如果有兴趣我们可以尝试验证更多的除法看看是不是满足这个规律

2.2 余数

余数大于或等于0，且比除数小

除法算式中被除数减去除数，减n(不确定的数字用字母表示)次后，被除数不是0且比除数小，这时侯的被除数就是余数

比如：

• 5÷4=1……1    减1次后被除数是1，所以商是1(减1次),余数是1(5-4=1)

• 8÷3=2……2    减2次后被除数是2，所以商是2(减2次),余数是2(8-3-3=2)

• 15÷6=2……3   减2次后被除数是3，所以商是2(减2次),余数是3(15-6-6=3)

思考：5÷8，6÷7，12÷19，3÷4的结果是多少？

自己总结一下当被除数比除数小的时候，结果是多少？

2.3 个位数除以个位数

乘法口诀表依然是又快又好的计算个位数除以个位数的最重要的方法，请一定要熟背九九乘法口诀表

2.4 如何使用“竖式”计算“多位数除以个位数”

实践是检验真理的唯一标准，我们看一个例子：125 ÷ 5

• 按照竖式的书写标准写出竖式

• 在计算中需要牢记以下3点：
    (1) 除法是从最高位开始计算
    (2) 除法就是计算被除数中有多少个除数
    (3) "被除数当前数位上数字比除数小的时候"，需要先在当前数位上写0，然后向更低的数位扩充一位继续计算，如果没有更低位，那么计算结束，写出商和余数(余数为0则省略)。

分析

• 从最高位开始计算,那么被除数125的最高位是1，1比5小，无法计算1中有多少个5，还有十位，那么扩充一位

• 扩大到十位，就变成12除以5，遵循“除法就是计算被除数中有多少个除数”，12里面有2个5,余数2

• 按照图上第一步计算步骤：因为我们计算已经扩充到被乘数的十位上了，所以在被乘数的十位上写上2，用2和除数5相乘，得到10，遵循“乘法的进位原则”，从10的个位开始分别写在12的下面，个位0和2对齐，十位1和1对齐，使用减法进行计算12-10得到余数2和个位对齐

• 余数2比除数5小，再次扩大数位到被除数125的个位，按照图上的步骤，把5落到2的右边，被除数变成25

• 25里面有5个5，所以在竖式符号上方的个位上写上5，5×5=25，把25写在第二步计算的第二层，使用减法，25-25=0 ，余数为0，被除数没有更低位，计算结束

• 在竖式的上面部分25就是我们的计算结果：125÷5=25

注：图中用虚线标识的“-”(减号)不用写，这里写上只是为了告诉读者，这部分的计算用减法。

上面的125÷5=25正好可以得出125里面有25个5，余数为0，这种余数为0的除法叫做“整除”。

我们再看一下有余数的除法怎么计算，同样我们看着示例来进行学习

• 前面的计算步骤和125÷5的差异不是很大，我们来看一下最后的计算

• 因为12÷4=3，没有余数，所以把被除数125上的个位5直接落下来，就变成5÷4

• 5÷4 ，5里面有1个4，余数1，所以在竖式符号的上方个位上写上1，在5落下来的下面写上4，然后用5-4=1

• 因为被除数已经没有更低的位，并且余数1比除数4小，计算结束
  最终计算结果：125÷4=31……1

多位数除以个位数小结

• 通过上面的计算，我们发现除法的竖式计算：
    (1)从最高位开始，依次看每个数里面有几个除数，如果小于除数的，就在当前的数位上写上0，再把数位扩大一位继续计算
    (2)计算扩大后的数里面有几个除数，用这个数乘以除数并把积写在扩大的数的下面，运用减法计算出多余的数(余数)，再扩大一个数位，把这个数位上的数字落在上一次计算的余数的右边
    (3)继续重复上面的步骤，直至没有位数可以扩大，并且余数小于除数，则计算结束。

• 特别需要注意的是：每一步的计算的余数大于或等于0，且必须要比除数小！！！

2.5 使用“竖式”计算多位数除以多位数

多位数除以个位数的步骤，同样适用多位数除以多位数

示例:

• 从最高位开始按照依次扩位的方式，先找到第一个比15大的数字，4比15小，扩一位：49比15大

• 我们知道15乘以任何数末尾要么是0要么是5，所以49÷15肯定有余数，那么我们通过计算得到49里面最多有3个15，我们在竖式符号的上方十位的位置上写上3，3和15相乘的积45写在49下面，然后用49-45=4得到余数4

• 余数4小于15，那么继续扩位，把个位上的5落下来，上面我们计算过45里面有3个15，在竖式符号上方的个位上写上3，3和15的积写在45下面，那么45-45=0，余数为0，无法继续扩位计算，计算结束

• 最终结果：495÷15=33

示例

• 从最高位开始依次扩位的方式，先找到第一个比15大的数字，4比15小，扩一位：45比15大

• 45里面有3个15，所以在竖式符号的上方写上5，3乘15的积写在45的下方，使用减法计算，45-45=0，没有余数

• 继续扩位，个位9直接落下来，无法继续扩位，9比15小，由于9里面0个15,在这种情况下，我们需要在竖式符号上方对应的数位上写上0后，继续扩位后计算

• 9后面没有数位进行扩位，所以9就是余数，计算结束

• 最终结果：459÷15=30……9

思考：4500÷15怎么列竖式计算?

示例

• 从最高位开始依次扩位的方式，先找到第一个比15大的数字，4比15小，扩一位：45比15大

• 45里面有3个15，所以在竖式符号的上方写上5，3乘15的积写在45的下方，使用减法计算，45-45=0，没有余数

• 继续扩位，十位7直接落下来，7比15小，由于7里面有0个15,在这种情况下，我们需要在竖式符号上方对应的数位上写上0后继续进行扩位(很重要，在这步计算的时候很多同学会忘记在竖式符号上方先写0)

• 扩位把个位的5落下来，写在7的右边，这时变成计算75里面有几个15，这里我们使用估算的方式进行计算，75的十位上十7，除数十位上是1，1x7=7，所以我们先用7试一下和15相乘是否小于或等于75，通过乘法计算15×7=105，比75大，那么这时后我们就要把7进行减小再估算，最后我们通过15×5=75得到75里面有5个15

• 按照书写步骤，现在竖式符号上方的个位上写上5，把5和15的积写在75下方，使用减法，余数为0，没有数位可以扩位，计算结束

• 最终结果：4575÷15=305

实验：使用除法计算的验算规律：商×除数+余数=被除数 来计算上面的除法算式，并验证验算规律是否正确。

总结

• 余数大于或等于0，且必定比除数小

• 除法计算从高位开始依次进行扩位计算

• 在多位数的除法中学会估算可以更快的进行计算

• 除法计算中使用到乘法和减法的计算

• 除法计算中如果被除数小于除数，那么商为0，余数就是被除数

• （重要）除法的竖式计算的时候：如果当前计算数位上的数字小于除数，那么需要在当前数位的上方写上0