三角函数 | 有了角度制为什么还要引入弧度制

       现在很多高一的孩子们开始了人教版必修四的学习，开始了三角函数的学习。

       让我们先来说一说什么是三角函数。

      三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

      三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

       首先，进入必修四后，我们从初中所学习的（0°，360°]范围的角扩大到了任意角的概念，哈哈，这里大家都学的还不错吧！对未知的三角函数充满了学习的兴趣吧！

       然后我们引入了弧度制的概念。此时很多同学就想了，为什么要学习弧度制，为什么有了角度制还有弧度制？

        现在我们一起来了解吧！！

     很多参考书认为，在角度制范围内，三角函数是以角为自变量的函数，对于研究三角函数的性质带来不便，引入角度制后，便能在角的集合与实数集之间建立一一对应关系。

      然而，事实上，无论是角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集合之间建立一一对应关系。

       那为什么我们还要学习弧度制嘞！

        曾老师想说了！！为什么需要学习弧度制就像为什么要学习数学一样了。最早的人类为了计数打猎收获的数量，于是有了结绳技术法，就开始有了数学，数学也是人类的发明，人类的发明都是为了更好的生活。

        同样的道理，弧度制的引入也是数学的需要，人类的需要，能让我们的数学发展，人类科技文化技术等等发展。（插一句，就像学习知识应该是学生的工具，而不是负担，大家要好好学习。）

       先来一个简单了例子，就好比为什么你的钱有了“一毛钱”可以计算你的钱了，还要引入“一块”、“十块”、“一百元”等等。自然是因为不足以满足人类生活的需要，用着不方便。

        角度制的不方便之处有哪些呢？首先，一个单位角度太小，衡量大的角不方便，而且需要6O进制换算(例如的角，对应的实数为3O．25)！而弧度制为十进制，就不需要换算。

       那有的同学就想了，为什么不让90°当一个单位呢，更好计算！

        让我们从弧度制的引入说起：

       弧度制的引入

        阿耶波多（Aryabhata Ⅰ，476—550年）是现在知道的印度最早的数学家和天文学家，1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》（499）传世。该书突出的地方在于对希腊三角学的改进。

        改进主要有：

        ①把半弦与全弦所对弧的一半相对应（如图1），成为今天的习惯。

        ②引入了弧度制

        阿耶波多将圆周分为360度，又采用60进制将1度分为60分，这样将整个圆周分为21600分。再由2πr=21600，可得半径r=3437.747（取圆周率π≈3.1416），定义取整定半径为r=3438分，这样就统一了半径和圆弧之间的单位。原来托勒玫（古希腊）三角学中有两套单位。30度弧对应的弦值是30个半径单位（半径长的1/60为一个单位），30度是圆弧的单位。1度是圆周之后，3°45′=225分，因而引入了弧度制。

        现代弧度制是欧拉在《无穷小分析引论》（1748）中倡导的，他是以半径为单位1来当统一单位，这样圆周为2π单位。

        ③他还给出了第一象限内间隔3°45′（即 ）的正弦差值表。如sin30°=1719，sin45°=2431等。

        弧度制的精髓就在于统一了度量弧（后来的角）与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算。