2022年全国高考数学命题角度专练(十七)任意角、弧度制及任意角的三角函数

角度一　象限角与三角函数值符号

1．已知sinθ－cosθ＞1，则角θ的终边在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 答案：B

【解析】：由已知得(sinθ－cosθ)²＞1，即1－2sinθcosθ＞1，

sinθcosθ＜0，又sin θ＞cosθ，所以sinθ＞0＞cosθ，所以角θ的终边在第二象限．

2．设θ是第三象限角，且|cosθ/2|＝－cosθ/2，则θ/2是()

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：B

【解析】：由θ是第三象限角，知θ/2为第二或第四象限角，∵|cosθ/2 |＝－cos θ/2，∴cosθ/2 ≤0，综上知θ/2为第二象限角．

3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为___．答案：－675°或－315°

【解析】：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，解得－765/360≤k<－45/360(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.

角度二　扇形的弧长及面积公式的应用

1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为()

A．2     B.2/sin1     C．sin 2   D．2sin 1      答案：B

【解析】：由弦长公式d＝2rsinθ/2，其中r是弦所在的圆的半径，θ是弦所对的圆心角，d是弦长，可得2＝2rsin2/2，解得r＝1/sin1，所以这个圆心角所对的弧长为2r＝2/sin1，故选B.

2．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°， 则该扇形的面积为________ cm².  答案：360/π

【解析】：由弧长公式l＝|α|r，得r＝l/|α|，由题意得l＝20，|α|＝100π/180，∴r＝36/π，∴S_扇形＝lr/2＝(1/2)×20×36/π＝360/π.

角度三　三角函数的定义及应用

【典例】(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()

A．－4/5    B．－3/5        C.3/5        D.4/5     答案：B

【解析】：由题意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，将其代入sin²θ＋cos²θ＝1中可得cos²θ＝1/5，故cos2θ＝2cos²θ－1＝－3/5.

(2)点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π/3弧长到达点Q，则点Q的坐标为____．答案：(1/2，3^1/2/2)

【解析】：设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π/3弧长到达点Q，则∠AOQ＝8π/3－2π＝2π/3(O为坐标原点)，所以∠xOQ＝π/3，cosπ/3＝1/2，sinπ/3＝3^1/2/2，所以点Q的坐标为(1/2，3^1/2/2)．

【冲关演练】

1．已知α是第二象限角，P(x，5^1/2)为其终边上一点，且cosα＝2^1/2x/4，则x＝()

A.3^1/2   B．±3^1/2   C．－2^1/2   D．－3^1/2     答案：D

【解析】：∵cosα＝x/(x²＋5)^1/2＝2^1/2x/4，∴x＝0或x＝3^1/2或x＝－3^1/2，又α是第二象限角，∴x＝－3^1/2，故选D.

2．若角α的终边经过点P(sin2π/3，cos2π/3)，则sin α＝()

A.1/2  B.3^1/2/2 C．－1/2 D．－3^1/2/2    答案：C

【解析】：结合特殊角的三角函数值得P(.3^1/2/2，－1/2)，sin α＝y/r，y＝－1/2，r＝[(3^1/2/2)²＋(－1/2)²]^1/2＝1，则sin α＝＝－1/2.选C.