如何写一篇数学研究论文

作者：艾希礼·瑞特

本文译自MIT缅因数理学院的艾希礼·瑞特于1995年9月12日发表的论文，可供从事数学研究或者工作中要用到数学的读者书写论文时参考。原文链接为：

[1] Ashley Reiter,Writinga Research Paper in Mathematics,September 12, 1995, http://web.mit.edu/jrickert/www/mathadvice.html

原文引用的参考文献为：

【2】 Steenrod, N.E.， "How to write Mathematics", Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558

翻译：在百度翻译的基础上经人工校对修正了一些表述。由于水平有限，译文不妥在所难免，建议有写作需求的读者下载原文进一步阅读。

一、引言：为何要重视数学论文的写作？

好的数学写作，就像好的数学思维一样，是一项必须实践和进步才能达到最佳表现的技能。本文旨在为年轻数学家撰写第一篇论文提供帮助，其目的不仅是帮助学生写好一篇论文，而且帮助学生开始思考数学写作。

我非常感激一本精彩的小册子《如何写数学》（即前面介绍的引文【2】——译者注），它提供了这篇文章的大部分内容。我将直接引述其中不少内容，特别是引述保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）写的那一节。我怀疑，本文中几乎所有的想法都来源于我阅读的这本小册子。它可以从美国数学学会获得，认真学习数学写作的学生应该自己查阅这本小册子。其他大多数想法都源于我对本人糟糕的数学写作的失望。虽然从糟糕的数学写作中学习数学并不是学习好的写作的最佳方式，但它可以有效地提供避免犯错的借鉴。思维活跃的数学读者应注重数学论文样本中那些看起来显得不清楚的地方，并避免在自己的写作中犯同样的错误。

书面与口头的数学交流都是一个滤波器，透过它可以审视你的数学工作。如果把数学工作的创造性方面用“作曲”来比喻，那么写作艺术就可以用“演奏曲子”来比喻。作为一名数学家，你有权对你自己的曲子进行演奏和表演！对听众来说，谱曲与演奏同样重要。如果你纯粹是为了自己的兴趣而做数学，那么就没有理由去写它了。如果你希望分享你所做的数学之美，那么仅仅写是不够的——你必须努力把它写好。

本文将从数学写作的一般概念开始。目的是帮助学生制定论文大纲。下一节将描述论文的“正式”部分和“非正式”部分之间的区别，并为每一部分提供指导原则。第四节将讨论如何书写一个独特的数学证明。本文的结尾部分是整整一节，其中包含在写作和重写论文时需要考虑的具体建议。

二、写作前：组织论文

几乎所有写作的目的都是为了交流。为了更好地交流，你必须同时考虑你想要沟通的内容以及你希望与谁沟通。对于数学写作来说，这一点不亚于任何其他形式的写作。数学写作的主要目的是用精心构建的逻辑推理来断言数学陈述的真实性。细心的数学读者不会假定你的工作是有根据的，除非他被说服。说服读者是你数学写作的第一个目标。

然而，仅仅向读者说服你的工作的真实性是不够的。当你书写你自己的数学研究时，你会有另一个目标：希望你的读者欣赏你所做的数学之美，并理解它的重要性。如果将整个数学或与你相关的子领域看作是一幅大型的绘画作品，那么你的研究将必然构成整个作品中相对微小的一部分。它的美丽不仅体现在对你所画的特定区域的考察中（尽管这很重要），而且通过观察你自己的作品如何“融入”到整体画面中来。

这两个目标——说服你的读者相信你的推论的真实性，并让你的读者看到你的工作与整个数学的关系的美丽——在你为论文制定大纲的时候，这将是至关重要的。有时，你可能会把自己当成一个导游，引导读者穿越只有你自己绘制的区域。

一位成功的数学作家将为她的读者画出两幅逻辑图，一幅展示了她自己的作品与广阔的数学世界之间的联系，另一幅则揭示了她自己作品的内在逻辑结构。

为了给读者提供建议，你必须首先考虑你的作品在数学逻辑图上的位置。如果你的读者访问过数学逻辑图附近的地区，那么你想让他在他的脑海中回忆这些经历，这样他就能更好地理解你必须添加的内容，并将其与相关数学联系起来。问几个问题可能有助于你辨别你的工作的特色和定位：

1. 你的结果是否通过对某个事物进行更精确的特性描述来强化先前的结果？
2. 你有没有通过削弱假设或加强结论来证明旧定理有更强有力的结果？
3. 你证明了两个定义的等价性了吗？
4. 它是一个结构的分类定理，以前被定义过但没有被理解？
5. 数学的两个先前不相关的方面是否联系在一起？
6. 对旧问题应用了新方法吗？
7. 是否为一个旧定理提供了新的证明？
8. 这是一个更大问题的特例吗？你有必要在数学结构中明确地考虑这个定位问题，因为在你回答这个问题之前，它会一直萦绕在读者的脑海中。如果不能解决这个问题，读者会感到非常不满意。

除了提供数学逻辑图来帮助读者在数学领域内定位您的工作，您还必须帮助他们了解您工作的内部组织：

1. 你的结果集中在一个突出的定理里吗？
2. 或者你有几个相关但同样重要的定理吗？
3. 你找到重要的反例了吗？
4. 你的研究是在定理证明的意义上的纯粹的理论数学，还是你的研究涉及到几种不同类型的应用？例如，在计算机上模拟一个问题，证明一个定理，然后做与你的工作有关的物理实验？
5. 你的工作是朝着解决一个经典问题迈出了清晰（尽管很小）的一步，还是一个新问题？因为你的读者直到读完你的论文后才知道你要证明什么，所以应提前告诉他他要读什么，这将使他更加享受“阅读旅行”的乐趣，并了解更多你引导他去做的事情。

要诚实而刻意地解释你的工作与数学研究的大局相符，可能需要非常谦虚。你可能会对自己的成就显得很小而感到失望。不要烦恼！数学已经积累了数千年，是基于数千（或数百万）从业者的工作。有人说，即使是最好的数学家，在他们的一生中也很少有超过一个真正杰出的想法。如果你是高中生的话，那真是太令人惊讶了！

一旦你考虑了研究的结构和相关性，你就准备好概述你的论文了。研究论文的公认格式在数学上的定义比其他许多科学领域要严格得多。你有足够的空间来制定一个特别适合你论文的大纲。但是，论文几乎总是包括几个标准部分：背景、简介、正文和未来的工作。背景将有助于引导你的读者，提供你将带他去哪里的第一个想法。在背景中，您将给出问题历史的最明确描述，尽管提示和引用可能会放在论文的其他地方。读者希望在本节中回答一些问题：他为什么要读这篇论文？这篇论文的重点是什么？这个问题是从哪里来的？这个领域已经知道了什么？为什么作者认为这个问题很有趣？例如，如果他不喜欢偏微分方程，就应该提前警告他会遇到它们。如果他不熟悉概率的第一个概念，那么如果你的论文依赖于这种理解，他应该提前得到警告。请记住，尽管你可能花了几百个小时来解决你的问题，但你的读者希望在几分钟内把所有这些问题都清楚地回答出来。

在论文的第二部分，导言部分，你将开始引导读者进入你的工作，特别是从大局到具体结果的放大。这里是介绍定义和引理的地方，这些定义和引理是该领域的标准，但是您的读者可能不知道。

正文由几个部分组成，包含了你大部分的工作。当你到达最后一节“研究意义”时，你可能已经厌倦了你的问题，但是这一节对你的读者来说是至关重要的。作为论文主题的世界专家，您处于一个独特的环境中，可以指导您所在领域的未来研究。喜欢你论文的读者可能想继续在你的领域工作。他（她）自然会有她/他自己的问题，但你在写了这篇论文之后，会比你的读者更清楚哪些问题可能有趣，哪些问题可能没有趣。如果你继续研究这个话题，你会问什么问题？此外，对于某些论文，您的工作可能会有重要影响。如果你研究过一个物理现象的数学模型，那么在物理世界中，你的数学工作的结果是什么？这些问题是你的读者希望在论文的最后一节中回答的。你应该注意不要让他们失望！

三、正式和非正式介绍

一旦你有了论文的基本大纲，你应该考虑“由定义、定理和证明组成的正式结构或逻辑结构，以及由动机、类比、例子和数学解释组成的补充性非正式或介绍性材料。在任何数学表达中，都应该明显地保持材料的这种划分，因为主题的本质首先要求逻辑结构清晰。”（p.1）这两种类型的材料并行出现，以使读者能够从逻辑和认知两方面理解你的工作（这通常是非常不同的——你们中有多少人认为在证明微积分的基本定理之前，积分可以用反导数来计算？）。由于正式结构不依赖于非正式结构，作者可以在添加任何非正式结构之前，详细地写下前者。

因此，写作过程的下一个阶段可能是制定论文逻辑结构的大纲。问有几个问题可能会有所帮助：首先，你到底证明了什么？这些定理所依据的引理是什么（你自己的或他人的）。这些定理的推论是什么？在决定哪些结果称为引理、哪些定理和哪些推论时，问问自己哪些是中心思想。哪一个是自然地从别人那里来的，哪一个是真正的贡献？写作的结构要求你的假设和推论必须符合线性顺序（即由简单到复杂的顺序）。对于这种线性结构，引理的复杂程度越来越高，一个接一个，直到一个定理被证明，随后是一系列越来越复杂的推论。然而，很少有研究论文真正具有这样的线性结构，而是反过来，看起来就像复杂的图形，其中几个基本假设以复杂的方式与一些众所周知的定理相结合，可能有几个看似独立的推理路线会在最后一步聚集。事实上，任何断言都应该从它所依赖的引理和定理得出。可能有许多满足这一要求的线性顺序。鉴于这一困难，你有责任首先自己理解这一结构，其次，安排你写作的必然线性结构，以尽可能反映你论文的结构。当然，这一写作的确切方式取决于具体情况。

帮助您揭示论文复杂逻辑结构的一种方法是正确地命名结果。通过适当地命名你的结果（引理作为基础，定理作为核心结果，推论作为收尾工作），你将在你的引理中创造出某种平行感，帮助你的读者欣赏和快速游览哪些是你关键的想法，而不能让读者费劲地好像与你进行一起研究一样。

另一种发展简明逻辑大纲的方式来源于《如何写数学》的作者保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）的警告：从不重复证明。

如果定理2证明中的几个步骤与定理1证明中的某些部分非常相似，那么这是一个信号，表明某些东西可能没有被完全理解。同一毛病的其他症状是：“使用与定理1的证明中相同的技术（或方法、装置或技巧）”，或冒失地使用“参见定理1的证明”。当这种情况发生时，很有可能值得构造一个可公式化和可证明的引理，从这个引理可以更容易、更清楚地推导出定理1和定理2。（第35页）

在你开始写论文之前，这些结构问题应该经过深思熟虑，尽管写作本身的过程确实有助于你更好地理解结构。

我们已经讨论完了正式结构，现在我们就转向非正式结构。

正式结构包含正式定义、定理证明格式和严谨的逻辑，这是“纯”数学的语言。非正式结构是正式结构的补充。它使用不那么严格（但也同样准确）的语言，在阐明作品的数学位置和更具认知性的呈现中起着重要的作用。因为尽管数学家用逻辑语言写作，但实际上很少有人用逻辑语言思考(尽管我们确实用逻辑思维)，因此为了理解你的工作，他们将会极大地受益于对为什么某事是真的以及你是如何证明这样一个定理的微妙论证。在你写作之前，在这些非正式的章节中概述你希望交流的内容，很可能会让交流更有效。

在开始写之前，您还必须考虑数学符号。符号的选择是撰写研究论文的关键部分。实际上，你正在发明一种你的读者为了理解你的论文必须学习的语言。好的符号首先让读者忘记他正在学习一种新的语言，其次提供了一个框架，在这个框架中，你的证明的要点被清楚地理解了。另一方面，糟糕的注释是灾难性的，可能会阻止读者阅读你的论文。在大多数情况下，遵循惯例是明智的。例如，不要对函数使用，而应该按惯例使用。

四、证明

写一个好的证明的第一步是对定理的陈述。一个措辞得当的定理会使写证明变得容易得多。定理的陈述首先应该包含正确的假设。当然，必须包括所有必要的假设。另一方面，应尽可能滤除无关的假设，因为无关假设只会让读者分散注意力，无法将注意力集中在你定理要表达的观点上。

当你写证明的时候，就像写整篇论文一样，你必须以线性的顺序，写下一组假设和推论，这些假设和推论在形式上可能不是线性的。我建议，在你写作之前，你先把假设和推论拟订出来，并试图以一种对读者造成最少混乱的方式对陈述进行排序。

在《如何写数学》中，哈尔莫斯（Halmos）提供了几个关于编写证明的重要建议：

1. 用正向证明方法，而不是逆向证明方法。逆向证明的优点是容易被机器验证，但不适合被人理解。正向证明的安排是可以理解和记忆的。（第43页）
2. 避免不必要的符号。考虑由等号分开的一长串表达式组成的证明。这样的证明很容易写。作者从第一个方程开始，进行自然替换得到第二个方程，合并同类项、置换、插入并去掉一个中间因子，然后通过这些步骤进行，直到他得到最后一个方程。这种证明又是一次编码，读者不仅被迫一边学习，还一边去解码。这种让负担翻倍的做法是不必要的。应多花10分钟写一个文字性段落，用以介绍证明过程的秘诀，取代那些只报告结果和需要读者猜测的无用过程。这段话可以是这样的：“作为证明，首先用P代替Q，然后合并同类项，置换因子，最后插入并取消一个因子R。（第42-43页）

五、具体建议

在任何形式的交流中，都有一定的文体习惯，这会使你的写作或多或少地被理解。写完初稿后，最好对这些内容进行检查和更正。我这些想法中的许多来自《如何写数学》，并且在那里更充分地证明了其合理性。前面已定义的符号在连续几页甚至几段中如果没有被使用，再次出现时应交代在前面哪里定义了或者重新提示其意义。

论文的结构应做到很容易地通过你的标题和标点符号来识别。在整个论文中，应该对所涉及的问题有一个清晰的定义。

论文标题是读者接触你的论文的第一个要素。它必须向你所在领域的专家以及感兴趣的新手传达某种信息。因此，术语在技术上必须是正确的。

不要过度使用小的标点符号，如句点或逗号。它们很容易被读者看漏，并且这样的漏读会导致回溯、混乱和耽搁。不要以符号作为句子的开头。如果你坚持在句子开头提到符号所表示的东西，那么在符号之前加上适当的术语，例如，“集合x属于C类，…”而不是“x属于C类，…”。对于逗号也是如此。不要使用“对于可逆，也是可逆的”，而要使用“对于可逆，伴随也是可逆的。”（第44页）

在所有的数学上下文中，我推荐“如果”（“if”）与“那么”（“then”）连起来使用，因为“那么”的存在永远不会引起混淆。

另一个关键特性是页面的布局或架构。“如果它看起来像纯朴的白话文，它会令人生畏且显得呆板；如果它看起来像计算散列充满数学符号，则会显得可怕和复杂。中庸之道是黄金。把它拆开，但不要太小；用白话文，但不要太多。穿插足够多的展示，给眼睛一个帮助大脑的机会；使用符号，但在足够多的白话文中间，以防止大脑淹没在一堆后缀之中。”（第44-45页）

同一符号不能用于多个事物；如果在一个证明中使用n作为计数，则在下一个证明中使用m，除非这两个符号在每一个证明中都起着相似的作用。所有符号都应该有意义（没有自由变量）：“避免使用不必要的符号。例如“在紧凑空间上，每个实值连续函数f都是有界的”，这里符号“f”对该语句的清晰度没有任何贡献。（第41页）

在日常英语中，“any”是一个模棱两可的单词。到底是指一个限定的量词（如"if anyone can do it, he can")）还是指一个通用的量词（如"any number can play"），取决于上下文。因此，不要在数学写作中使用“any”。用“each”或“every”替换，或改写整个句子（第38页）

不要事后定义，例如，不要使用“如果足够大，那么，其中是预先指定的正数”。不要使用“等价”，因为定理的“等价”逻辑上的废话。这里所说的“定理”是指一个数学真理，一个已经被证明的东西。一个有意义的陈述可能是错误的，但一个定理不能。至于“如果……那么……如果……那么”，这只是一个写作快手和慢速读者常犯的文体短句。例如，“如果P，那么Q，那么R”虽然在逻辑过意得去，但从心理上来说可能把读者绊住。如果依据本身意义要求，改成“如果P和Q，那么R”或者“在P的存在下，假设Q则意味着结论R”会更清晰。

用反例来说明定理条件的必要性。正确使用词语：区分功能和价值