两个等腰直角三角形会发生怎样的故事呢?——相等关系和垂直关系
发布于 2021-10-10 13:04
“ 很多同学认为全等三角形的证明很难，尤其是动态几何题，让人在云里雾里，没有思路。我们不妨放慢速度，让学生全程参与进来，也许会有不一样的体验。”
01
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从生活中熟悉的简单图形入手
同学们，我们手里的三角板中有一个非常特殊的三角形，它有两条边是相等的。它是什么三角形呢？学生回答：“等腰直角三角形。”师：“太棒了！请同学们找出你手里的这个三角板。”学生举起了手里的三角板。
你会在笔记本上画出一个等腰直角三角形吗？
学生利用三角板的度量工具，很快画出了一个等腰直角三角形。
师：“画得又快又好啊。一个直角三角形太孤单，我们再加入一个直角三角形来陪伴它，如何呢？”
生：“好啊。”
师：“不能让两个朋友太远吧？那就让他们近一点，让直角顶点重合，如何呢？”
学生点点头，在笔记本上画出了两个共顶点的等腰直角三角形不同的位置关系，汇总如下图。教师把所有的情况展示给学生。
02
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连一连，试试看，你发现了什么
师：“连接两个点试试看。”
生：“我先把A、D两点连上，再把B、E两点连上。”
师：“你发现了什么？”
生：“我发现除了最后一个图不需要连接以外，其它图都可以连接成功。”
师：“你有没有发现全等？”
学生很快发现了。无论哪种类型的图形， △BCD≌△ACE 均成立。
师：“为什么呢？”
生：“已经有两组边相等了，只需要再找一组角相等。并且，这个角只能是夹角。”
师：“分析得很有道理。如何证明夹角相等呢？”
生：“第一、二、五个图，有两个直角，减去一个公共角可以证明；第三、四个图，有两个直角，加上一个公共角可以证明。”
师：“太棒啦。进而可以得到什么呢?”
生：“还可以得到BD=AE”
师：“非常正确。再仔细观察，BD和AE的位置关系是什么呢？”
教师引导学生，研究两条线段的位置关系，就是研究两条线段所在直线的位置关系。学生尝试把两条线段所在的直线画出来，让它们产生交点。汇总如下图：
学生发现，无论哪种情况，这两条线段总是互相垂直的。
教师启发学生证明垂直关系。
02
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给出留白时间 鼓励学生独立思考 体会成功的快乐
教师留白，引导学生标图，鼓励学生思考，由学生自己想出证明方法。经过教师的引导，学生自己想出了解决问题的办法。
教师带着学生，完善证明过程如下：
∵△BCD≌△ACE
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4（对顶角相等）
∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵等腰Rt△BCA
∴∠BCA=900
∴∠1+∠3=900
∴∠2+∠4=900
∴∠AFD=900
∴BD⊥AE
由于是他们自己想出来的证明，他们格外高兴。学生还惊喜地发现，无论哪种图，证明垂直关系的方法也是相通的。这让他们对几何学习更有自信。研究表明，这种成功的体验越多，学生数学学习的兴趣越浓厚。
02
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借助技术 凸显变化图形中的不变关系
最后，同学们自己用图形计算器验证了猜想和证明，同学们在变化的过程中更深刻地体会到了不变的关系，顿时豁然开朗。
全等关系不变
8字关系不变 垂直关系不变
课堂上认真专注的同学们
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