2022年初三数学一轮复习知识点串讲专题34 锐角三角形

专题34锐角三角形

【知识要点】

知识点一锐角三角形

锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)

	定    义	表达式	取值范围	关    系
正弦			(∠A为锐角)
余弦			(∠A为锐角)
正切			(∠A为锐角)

【正弦和余弦注意事项】

1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

三角函数	30°	45°	60°
		1

锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：

1. sin A=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。
2. cos A=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。

正弦、余弦的增减性：

当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，

知识点二解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．

直角三角形五元素之间的关系：

1. 勾股定理（）

2.∠A+∠B=90°

3. sin A= =  

4.cos A= =

5.tan A= =

【考查题型】

考查题型一 利用正弦的相关知识求解

典例1（2020·广西河池市·中考真题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【提示】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．

【详解】解：如图所示：

∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，

∴，

∴．

故选：D．

变式1-1．（2020·四川雅安市·中考真题）如图，在中，，若，则的长为（   ）

A．8 B．12 C． D．

【答案】C

【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.

【详解】解：∵sinB==0.5，

∴AB=2AC，

∵AC=6，

∴AB=12，

∴BC==，

故选C.

变式1-2．（2020·四川南充市·中考真题）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【提示】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．

【详解】

解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，，∵，
∴，
∴．
故选：B．

考查题型二 利用余弦的相关知识求解

典例2（2020·柳州市中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【提示】

、接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，

∴，

∴．

故选：C．

变式2-1．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（   ）  

A． B． C． D．

【答案】B

【提示】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．

【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，

由勾股定理得，

在Rt△BDC中，cos∠BDC=

由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，

∴cos∠BAC=cos∠BDC=

故选：B．

变式2-2．（2020·安徽中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【提示】根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．

【详解】∵∠C=90°，

∴，

∵，

∴AB=5，

根据勾股定理可得BC==3，

∵，

∴cos∠DBC=cosA=，

∴cos∠DBC==，即=

∴BD=，

故选：C．

考查题型三 利用正切的相关知识求解

典例3（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【提示】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；

【详解】如图，取格点E，连接BE，

由题意得：，，，

∴．

故答案选A．

变式3-1．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB

【答案】B

【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．

【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c

∴，即，则A选项不成立，B选项成立

，即，则C、D选项均不成立

故选：B．

变式3-2．（2019·贵州安顺市·中考真题）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】试题提示：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4

所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．

变式3-3．（2019·广东广州市·中考真题）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则此斜坡的水平距离AC为（  ）

A．75m B．50m C．30m D．12m

【答案】A

【提示】根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.

【详解】解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.

考查题型四 特殊角的三角函数求值

典例4．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【提示】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．

【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，

∴△OBM与△ODN是直角三角形，，

∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，

∴,，

∴，，

∴，，

∴．

故答案选B．

变式4-1．（2020·山东泰安市·中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【提示】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．

【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，

∵，，AG=2，

∴BG=FM=2，AF=GM，

令AF=x，

∵两个梯形全等，

∴AF=GM=EC=x，

又∵，

∴，

∴，

又∵BC=6，

∴，

∴．

故答案选D．

变式4-2．（2020·广西玉林市·中考真题）sin45°的值等于（）

A． B． C． D．1

【答案】B

【提示】根据特殊角的三角函数值即可求解．

【详解】sin45°=．故选B．

变式4-3．（2020·天津中考真题）2sin45°的值等于（   　　）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【详解】解：2sin45°=2×，故选B

考查题型五 由三角函数值求锐角

典例5．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【提示】先根据矩形的性质可得，再根据圆的性质可得，然后利用余弦三角函数可得，从而可得，最后利用弧长公式即可得．

【详解】四边形ABCD是矩形，，

由圆的性质得：

在中，

则的长为

故选：C．

变式5-1．（2020·湖北黄冈市·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【提示】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值．

【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，

∵菱形的周长为16，

∴AB＝4，

在Rt△ABH中，sinB＝＝，

∴∠B＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝150°，

∴∠C：∠B＝5：1．

故选：B．

变式5-2．（2020·山东日照市·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）

A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9

【答案】A

【提示】根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．

【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，

∴CE＝DE＝CD＝3．

设⊙O的半径为r，

在直角△OED中，OD²＝OE²+DE²，即，

解得，r＝6，

∴OE＝3，

∴cos∠BOD＝，

∴∠EOD＝60°，

∴，，

根据圆的对称性可得：

∴，

故选：A．

变式5-3．（2019·湖南怀化市·中考真题）已知为锐角，且，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【提示】根据特殊角的三角函数值解答．

【详解】∵为锐角，且，

∴．

故选A．

考查题型六 解直角三角形

典例6．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【提示】根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．

【详解】解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．

故选：A．

变式6-1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【提示】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；

【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，

，,．

选项B、C、D都是错误的，

故答案选A．

变式6-2．（2020·广东广州市·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【答案】B

【提示】根据中，，，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．

【详解】

解：∵中，，，

∴cosA=

∵，

∴AC=4

∴BC=

当时，与的位置关系是：相切

故选：B

变式6-3．（2020·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（  ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【提示】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．

【详解】

解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，

由，且可知，，

∴在中，由勾股定理有：．

故选：B．

变式6-4．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【提示】

延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．

【详解】

延长CE交AB于F，如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，

∴CF=DB=b，FB=CD=a，

在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，

tan∠ACF=

∴AF=,

AB=AF+BF=，

故选：A．

考查题型七利用解直角三角形解决实际问题

典例7．（2020·西藏中考真题）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF，卓玛同学为了探究信号塔EF的高度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F，测得仰角∠ACF＝60°，AC长7米．接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔的最低点E，测得仰角∠B＝30°．（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）．

【答案】2米

【提示】

在Rt△ACF中，根据三角函数的定义得到AF＝AC•tan60°＝7米，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义得到AE＝AB•tan30°＝15×＝5米，进而得到结论．

【详解】

解：在Rt△ACF中，∵∠ACF＝60°，AC＝7米，

∴AF＝AC•tan60°＝7米，

∵BC＝8米，

∴AB＝15米，

在Rt△ABE中，∵∠B＝30°，

∴AE＝AB•tan30°＝15×＝5米，

∴EF＝AF﹣AE＝7﹣5＝2（米），

答：信号塔EF的高度为2米．

变式7-1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，斜坡BE，坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为，，求CD的高度结果保留根号

【答案】CD的高度是米．

【提示】

作于点F，设米，在直角中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角中表示出CE的长，然后根据即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．

【详解】

如图，作于点F，设米，

在中，，

则，

在直角中，米，

在直角中，，则米，

，即，

解得：，

则米，

答：CD的高度是米．

变式7-2．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）

（参考数据）

【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．

【提示】

（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．

（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．

【详解】

解：（1）垂直于桥面

在中，

（米）

答：大桥主架在桥面以上的高度为米．

（2）在中，

（米）

答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．

变式7-3．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．

【提示】

延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．

【详解】

解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵∠BHN＝45°，BA⊥MH，

则BN＝NH，

设BN＝NH＝x，

∵HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，

∴tan30°＝，

解得x≈8.22，

根据题意可知：

DM＝MH＝MN+NH，

∵ MN＝AC＝10，

则DM＝10+8.22＝18.22，

∴CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．

答：建筑物CD的高度约为19.8m．

变式7-4．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）两地间有一段笔直的高速铁路，长度为．某时发生的地震对地面上以点为圆心，为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从两地处测得点的方位角如图所示，．高速铁路是否会受到地震的影响．请通过计算说明理由．

【答案】会受到影响，理由见解析

【提示】

首先过C作CD⊥AB与D，由题意得AD= CD·tanα，BD= CD·tanβ，继而可得CD·tanα+ CD·tanβ = AB，则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区．

【详解】

解：如图，过C作CD⊥AB于D，

∴∠ACD=α，∠BCD=β，

∴tan∠ACD=tanα=，tan∠BCD=tanβ=，

∴AD = CD·tanα，BD= CD·tanβ，

由AD+BD= AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB=100，

则＞30，

∴高速公路会受到地震影响．

变式7-5．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．

【答案】

【提示】

如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．

【详解】

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠CAD=∠ACD=45°，

∴AD=CD，

设AD=，则AC=，

∴BD=AB-AD=，

∵∠CBD=60°，

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD=，

∴，

解得，

经检验，是原方程的根，

∴AC==()=(-)km．

答：船C离观测站A的距离为(-)km．

变式7-6．（2020·内蒙古呼和浩特市·中考真题）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．

（1）直接写出的度数；

（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【答案】（1）62°；（2）（+）km

【提示】

（1）根据两直线平行，内错角相等即可得出答案；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．

【详解】

解：（1）如图，由题意得：

∠ACB=20°+42°=62°；
（2）由题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=42°+20°=62°，AB=38，

过B作BE⊥AC于E，如图所示：
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在Rt△ABE中，∵∠EAB=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∵AB=38，

∴AE=BE=AB=，

在Rt△CBE中，∵∠ACB=62°，tan∠ACB=，

∴CE==，

∴AC=AE+CE=+，

∴A，C两港之间的距离为（+）km.

变式7-7．（2020·湖南娄底市·中考真题）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．

   

【答案】引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．

【提示】

延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，计算AG，GH，BH的长度，再求和即可．

【详解】

解：如图，延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，则在中，，

，

在中，

答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．

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