复杂系统中的超度量性——专业解读诺贝尔物理奖获得者 G Parisi 的工作

发布于 2021-10-10 14:26

今年的诺贝尔物理学奖一半颁给了意大利物理学家G. Parisi。他的最重要的工作是在1980年左右提出的自旋玻璃的复制对称破缺理论[1-2]。这个理论引出一个概念，叫超度量性（Ultrametricity）[3]。数学家指出，这个概念对物理学家来说挺新的，但超度量性早在1900年左右在数学上已经成熟了[4]。这种情形与广义相对论和量子力学出现时很相似。超度量性被扩展到很多其它的领域。

我们从稍微专业一点的角度来看看Parisi的复制对称破缺理论。这个理论是从自旋玻璃模型中得到的。

什么是自旋玻璃呢？它指的是一类复杂的磁性材料，可以用自旋之间有随机长程相互作用的伊辛模型来描述。先来看伊辛模型。提出伊辛模型是为了解释物质的磁性。我们知道物质的磁性主要来自原子中的电子的自旋。考虑磁性固体中两个挨着的原子，它们外层的电子有相互作用，然后会处于不同的能量状态。这个能量状态和两个原子中的电子的自旋取向有关。两个自旋平行，是一种能量状态，反平行则是另一种能量状态。所以，物理学家提出了一个简化的模型来描述磁性物质，在一个晶格（见下面的图）上，每个格点有一个自旋，这些自旋的能量由下面公式给出：
  
这个式子中自旋取两个值，即  ，而且只有相邻的自旋之间才有相互作用，  称为相互作用强度，这里  。就是说，如果两个相邻的自旋都为  ，则它们的相互作用贡献一个能量  ；如果一个自旋为  ，另一个为  ，则贡献一个能量  。

图1：伊辛模型的两个基态构型。

在图1中，我们用箭头来表示自旋的取向，向上表示  ，向下表示  。给定所有自旋的取值，比如图1左边的图中所示，所有的自旋都取  ，这叫做一个（自旋）构型。每个自旋有两种取值，  个自旋就有  个构型。图1中20个自旋应该有  个构型。

我们知道，当绝对温度趋于零开（尔文）时，系统会处于最低能量的状态，即基态。图1显示了两个基态构型：自旋取值都为  ，或都为  。这种状态下，系统能量最低，所有相邻的自旋对都贡献一个  的能量。当绝对温度趋于零开时，系统会处于图1左面的那个状态，或右面的那个状态。不管那个状态，都会显示出宏观的磁性。因为所有的电子的自旋取向是一致的。尽管每个电子的自旋磁矩很小，但大量的电子磁矩取相同方向时，磁性物质就显示出磁性来了。非磁性物质中也有电子，但电子的磁矩的方向杂乱无章，会彼此抵消，宏观上就没有磁性了。

光知道基态构型还是不够的，因为绝对温度不等于零开时，激发态构型也有一定热力学概率。每个构型的热力学概率为
  
其中  由方程(1)给出，  是玻尔兹曼常数，  是绝对温度。我们知道，磁性物质随着温度的提高，磁性会慢慢减弱。这是因为随着温度的升高，激发态构型的概率越来越大，而激发态构型中自旋取向不一致，磁矩会彼此抵消，所以磁性会慢慢减弱。升到某个温度，磁性就消失了。比如金属镍在温度升高到358摄氏度时，就没有磁性了。

我们可以用自旋的平均值来描述磁性：
 

其中  表示第  个自旋对所有的自旋构型按(2)式给出的热力学概率加权平均。举个简单的例子，当绝对温度趋于零开时，系统处于图1中左面所示的基态，所有的自旋取值都为  ，这时只有这个基态的概率不为零，所以  。

上述模型描述的是一种纯净的物质，所有的原子都是同一种，而且相互作用也是一样的。如果磁性物质中有杂质，就会导致电子自旋之间的相互作用不一样。这种情况下，可以用以下模型来描述：
  
在这个模型中，自旋之间的相互作用强度  依赖于位置。就是说如果某个位置有个杂质原子，这个位置的自旋与相邻自旋的相互作用就会不同。

这种依赖于位置的相互作用会造成那些不同呢？如果相互作用强度  有的大于零，有的小于零，就会出现大量的构型都是基态的可能性。比如图2中所示。实线相连的连个自旋之间的相互作用强度都为  ，虚线连接的为  。为了叙述方便，我们把一个自旋用绿色箭头标记了，它和临近的四个自旋有相互作用。有两个相互作用是  （虚线标记），有两个相互作用是  （实线标记）。这时，图2中的两个自旋构型的能量是一样的，尽管绿色箭头标记的那个自旋在左面的构型中取值  ，而右面的构型中取值  。因为这时左面和右面的两个构型中，绿色箭头标记的那个自旋与临近自旋相互作用之和都为零。再加上把所有自旋都反转的情况，这个系统有4个基态。相互作用有正有负，这样的系统称为阻挫的系统。有阻挫的系统可能有非常多的基态构型。

图2：有杂质存在的伊辛模型。左右两个构型都是基态。

如果系统中有很多杂质，自旋之间的相互作用有正的，也有负的，就可以用自旋玻璃模型来描述。一个特别的自旋玻璃模型叫长程的随机键伊辛模型。方程(4)的所有自旋之间都有相互作用，不管它们彼此离得有多远，所以称为长程相互作用。而且  有正的，也有负的，它的概率分布满足某种分布，比如高斯型分布。这个模型是Sherrington和Kirkpatrick两个人提出的，所以有称为S-K模型 [5]。

这个模型一提出来，就发现了个大问题：按通常的方法去解它，在温度趋于零开时，熵变成负的了[5]。熵是负的肯定不对，一定是解法出了问题。这个模型吸引了物理学界的注意，很多高手加入了战团。Almeida和Thouless从数学上证明了通常解法得到的解是不稳定的。Thouless在2016年获得诺贝尔物理奖，不过他获奖跟这个工作关系不大。后来，Thouless, Anderson和Palmer用局域平均场的的方法研究了这个模型。这里的Thouless就是刚才的Thouless，Anderson就是P W Anderson。

给出漂亮的最后一击的是G Parisi，我们要介绍的主角。他得到了一个复制对称破缺的解 [1]。复制指的是复制技巧（replicatrick）。方程(2)给出一个自旋构型的热力学概率，在自旋玻璃中还有一个更复杂的因素，就是相互作用强度  也有一个概率分布。所以我们要对两个概率分布做平均。对相互作用强度  做平均可以引入一个复制技巧，就是复制  份相同的系统，最后让  。一般想来，这  份系统应该是一样的，而且它们之间的关系也是一样的，这就叫复制对称。在Parisi的解中这  份系统之间的关系是不一样的，所以称为复制对称破缺。

我在这儿试着用简单的数学来说明这个解。图2所示有杂质的系统，可能有更多的基态。设想自旋之间有复杂的相互作用，有的为正，有的为负，而且绝对值有大有小，所以对一个有很多自旋的系统，会有很多的基态。而且在自旋构型空间中，能量的分布会很复杂。

纯净系统（如图1所示），它的能量在自旋构型空间中就比较简单。自旋都取相同方向的构型就是它的基态，有少数自旋翻转的能量就会提高，反转的自旋越多，能量就越高。但自旋玻璃不一样，首先自旋取向一致时并不是它的基态。它可能会有很多基态。还有更多的能量局域极小的态，即从这些个构型出发，变化构型得到的态的能量都升高。

以地形来打比方，纯净系统在构型空间中的能量分布就像个地势平缓的盆地，盆底的重力势能最低；而自旋玻璃则像贵州的喀斯特地貌，到处是突兀的石山，到处是深沟洞穴，有很多局部的低地。

自旋玻璃中有很多能量（准确地说应该是自由能）局域极小的态，系统一旦进入这些态，就要花很长时间才能到达别的局域极小的态。就像一个人掉进一个深洞里很难爬出来一样。所以系统很难达到平衡态。自旋玻璃中，各态历经破坏得很厉害。平衡态应该是能走过所有可能的态的。

Parisi的解中有个序参量
  
在最初的解中，  是  份复制系统的指标，后来Parisi 指出这个指标可以换成能量局域极小态的指标，从而把复制对称破缺的解的物理意义给解释清楚了[8]。粗略地说，这个序参量就是两个能量局域极小的构型之间的相似度。在第  个和第  个能量局域极小的构型中，如果第  个自旋取值是一样的，则  贡献为  ，反之为  。两个构型中自旋取值一样的位置越多，这个序参量越大。

Parisi的解告诉我们对于有阻挫的复杂系统，会有很多能量局域极小的构型，并给出了如何处理这些能量局域极小的态。关于自旋玻璃材料的研究，见综述[10].

Mezard, Parisi又和Sourlas, Toulouse, Virasoro合作，搞清楚了这些能量局域极小的态的拓扑结构：它们具有超度量性。用(5)式中的  可以定义一个距离
  
根据(5)式，我们知道当  态和  态的每个位置上的自旋都是一样的时候，  ，  ，两个态的距离最小。而当  态和  态的每个位置上的自旋都不一样的时候，  ，  ，两个态的距离最大。

这样定义距离后，  ，  ，   三个态之间的距离满足
  
在欧几里得空间三个点之间的距离满足的关系为  ，所以(7)式称为超度量的。
一个最简单的超度量的空间是左图所示的这种多层次的簇结构。这个图形像一个家族的族谱。第一代分成了三个分支，第二代（从左往右）又分别分成4，2，3个分支。最下面的端点代表第四代。把两个最下面的端点的距离定义为回溯几步到达共同的祖先。最下面右边两个端点的距离是1，而最右边和最左边的两个端点的距离是4. 人类的亲缘关系就是用回溯几代有共同的祖先来做标准的。
超度量性在很多问题中都可以见到。容易想到生物学上的进化树也有如上图的结构，我们可以根据基因的相似性定义两个物种之间的距离。自旋玻璃模型还和神经元网络有密切联系[9]。Hopfield认为神经元网络可以看作一个伊辛模型，神经元有抑制和兴奋两个状态，可以用自旋的取值  来代表，神经元之间有神经纤维相连可以看作相互作用。因此可以定义一个类似的能量，而那些能量局域极小的态就是神经网络的记忆。当然这些能量局域极小的态也有超度量性。现在的人工神经网络，深度学习的方法都是Hopfield神经网络模型的延伸。如果哪天诺贝尔奖要奖给神经网络，Hopfield应该能获奖。这是题外话。

最后我们来谈谈Parisi的复制对称破缺解的神奇之处。复制  份系统，对(5)式中的  可以定义一个函数
  
这是个双重求和。最后要求  ，也就是说最后系统复制的份数应该趋于零，也就是系统复制后变成个零维的系统。这个有点奇怪，但如果你研究过复制技巧，就会觉得这个要求挺自然。奇怪的是，Parisi证明上面的求和式在  的极限下变成了一个积分
  
其中  ，(8)式中的求和变成了个连续积分，从某种意义上讲是个无限维的东西。从零维空间(  )变出了一个有无限可能性的连续函数  ！
当然如果从能量局域极小态的超度量性角度来看，理解上面的式子也不难[3]。但只从复制技巧来看这个问题，很难想像Parisi是如何得到上面的式子的。(8)(9)两式的作用类似于量子力学中坐标与动量的对易关系，或者薛定谔方程中  的替换。Parisi把一个非常复杂的问题变成了一个简单数学运算。这样点石成金的魔法只能说是天才的灵光闪现。

为了提高本文的可信度，这里对笔者的研究背景做一点介绍。笔者在二十多年前，研究了无序铁磁系统中临界现象的复制对称破缺的可能性，提出了在连续复制堆成破缺的微扰下，用复制子模式研究有复制对称破缺的重整化群不动点的稳定性的方法[11]。

参考文献

[1] Parisi G 1979 Phys. Rev. Lerr. 43,1754.

[2] Parisi G 1980 J. Phys. A: Morh. Gen. 13, 1887.

[3] Mezard, M., G. Parisi, N. Sourlas, Cx. Toulouse, and M. Virasoro, 1984, Phys. Rev. Lett. 52, 1156.

[4] R. Ramrnal, G. Toulouse and M. A. Virasoro,  1986,  Rev. Mod. Phys., Vol. 58, No. 3, 765.

[5] D. Sherrington and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 35, 1792 (1975).

[6] J. R. L. de Almeida and D. J. Thouless, J. Phys. A 11, 983 (1978).

[7] Thouless, D. J., P. W. Anderson, and R. G. Palmer, 1977,

[8] Parisi, G., 1983,

[9] Hopfield, J.J., 1982, .

[10] K. Binder, A. P. Young, 1986,

[11] Xin-tian Wu, 1998,

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