2021全国高中数学联赛试题(B1卷)

发布于 2021-10-10 16:28

近日，云南、内蒙古所使用的2021年全国高中数学联赛试题（B1卷）发布～


2021全国高中数学联赛B1卷

一试试题

一、填空题: 本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.已知是定义在上的奇函数，，，则.
2.复数为实数的实部和虚部均大于，则的取值范围是.
3.集合，，，则的元素之和为.
4.已知平面直角坐标系中，抛物线与一条倾斜角为的直线相交于，两点, 则的面积为.
5.数列满足，，则的通项公式为.
6.正四棱雉中，是的重心，则.
7.已知，，则的最小值为.
8.设是的排列，满足，这样的排列种数为.

二、解答题：本大题共 3 小题, 满分 56 分. 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.

9.（本题满分16分）平面向量夹角为，若依次成等差数列，求.
10.（本题满分20分）设函数，正实数 满足，且，求的值.
11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆  的左、右焦点分别为，设是第一象限内上的一点，的延长线分别交  于点，求的最大值.

加试试题


一、（本题满分40分）

已知是非负实数，且，.
求的最小值；
若，求的最大值.
二、（本题满分40分）
如图，在中，，内两点均在的平分线上，且满足，设的延长线与线段交于点，的外接圆与的外接圆交于及另一点，证明:三点共线.
三、（本题满分50分）
已知是大于的整数，且不是完全平方数，若被整除，求证：.

四、（本题满分50分）

现有~九支球队进行单循环比赛（即每两队之间进行一场比赛)，每场比赛仅有胜、平、负三种情况，且胜者得分，打平则两队各得分，负者得分，已知~九支球队根据分数由多到少的顺序排列，且得分各不相同，胜场，平场，负场；胜场，平场，负场.
问：(1)是否可能胜? (2)是否可能胜?

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