2022年全国高考数学命题角度专练(三十)

第六章   数列

第二节　等差数列及其前n项和

一、考纲考情：1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系.

二、核心素养形成：数学建模，数学运算。

三、考查角度：主要通过等差数列的定义性质及应用考查数学建模与数学运算能力.

四、方法总结

角度一　等差数列基本量的计算

等差数列运算中方程思想的应用

1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项a₁和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a₁，a_n，d，n，S_n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

易错提醒：在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．

角度二　等差数列的判定与证明

等差数列的判定与证明方法

（一）定义法：对于任意自然数n(n≥2)，a_n－a_n－1(n≥2，n∈N_＋)为同一常数⇔{a_n}是等差数列. 适合题型：解答题中证明问题；

（二）等差中项法：2a_n－1＝a_n＋a_n－2(n≥3，n∈N_＋)成立⇔{a_n}是等差数列. 适合题型：解答题中证明问题；

（三）通项公式法：a_n＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a_n}是等差数列. 适合题型：选择、填空题中的判定问题；

（四）前n项和公式法：验证S_n＝An²＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{a_n}是等差数列. 适合题型：选择、填空题中的判定问题；

角度三　等差数列的性质及前n项和最值

1．应用等差数列的性质解题的2个注意点

(1)如果{a_n}为等差数列，m＋n＝p＋q，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q(m，n，p，q∈N_＋)．因此，若出现a_m－n，a_m，a_m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a_m(或其他项)有关的条件；若求a_m项，可由a_m＝(a_m－n＋a_m＋n)/2转化为求a_m－n，a_m＋n或a_m＋n＋a_m－n的值．

(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a_n＝a_m＋(n－m)d，d＝(a_n－a_m)/(n－m)，S_2n－1＝(2n－1)a_n，S_n＝(a₁＋a_n)·n/2＝(a₂＋a_n-1)·n/2(n，m∈N_＋)等．

2．求等差数列前n项和S_n最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S_n＝an²＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法：①当a₁>0，d<0时，满足a_m≥0，a_m+1≤0的项数m使得S_n取得最大值为S_m；

②当a₁<0，d>0时，满足a_m≤0，a_m+1≥0的项数m使得S_n取得最小值为S_m.